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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Schnittegerade bestimmen.
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Schnittegerade bestimmen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:38 Sa 02.07.2011
Autor: Nadia..

Aufgabe
Ich möchte gerne die Schnittgerade von zwei Ebenen bestimmen.

[mm] $E_1 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix}+ r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix} [/mm] $
und
[mm] $E_2 [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ s_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix} [/mm] $

.


Meine Idee ist, ich setze die eben gleich und löse auf.

Daher
[mm] $E_1=E_2 [/mm]
[mm] \iff [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix} +r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \iff [/mm]


[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} [/mm] =  [mm] -r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} -s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}+r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix} [/mm]

Das entspricht folgendes Lineare Gleichungssystem

[mm] \begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ -1&-1&1&-1 \\ -1&0&0&1\\ -2&-1&1&2\\-1&1&1&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} [/mm]
$

Ich erhalte dann  für
[mm] $r_1 =s_2=-s_1= [/mm] und [mm] r_2=0 [/mm] $ wie bestimme ich dann jetzt die Geraden ?

Viele Grüße

Nadia..

        
Bezug
Schnittegerade bestimmen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Sa 02.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Nadia..,

> Ich möchte gerne die Schnittgerade von zwei Ebenen
> bestimmen.
>  
> [mm]E_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix}+ r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> und
>  [mm]E_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ s_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> .
>  
> Meine Idee ist, ich setze die eben gleich und löse auf.
>  
> Daher
> [mm]$E_1=E_2[/mm]
>  [mm]\iff[/mm]
>  [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 1\\1 \end{pmatrix} +r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} +s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}+ r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> [mm]\iff[/mm]
>  
>
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}[/mm] =  [mm]-r_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\\ 2\\1 \end{pmatrix} -s_1\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0\\ -1\\1 \end{pmatrix}+r_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix} +s_2\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1\\ 2\\-1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Das entspricht folgendes Lineare Gleichungssystem
>
> [mm]\begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ -1&-1&1&-1 \\ -1&0&0&1\\ -2&-1&1&2\\-1&1&1&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> $


Das entsprechende Gleiochungssystem muss doch so lauten:

[mm]\begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ -1&-1&1&-1 \\ -1&0&0&1\\ -2&\blue{+1}&1&2\\-1&\blue{-1}&1&-1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ 1\\1 \end{pmatrix}[/mm]


>

>  
> Ich erhalte dann  für
> [mm]r_1 =s_2=-s_1= und r_2=0[/mm] wie bestimme ich dann jetzt die
> Geraden ?
>  
> Viele Grüße
>
> Nadia..


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Schnittegerade bestimmen.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:59 Sa 02.07.2011
Autor: Nadia..

Aufgabe
Super Vielen Dank,
Mit dem Grußverfahren erhalte ich dann:


$ [mm] \begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ 0&-1&0&-1 \\ -1&0&0&1 \\ 0&0&-1&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ -1\\0 \end{pmatrix} [/mm] $

Ich erhalte dann, [mm] $r_2=1+s_2,s_2=r_1,s_2=-s_1,r_1=-1+s_2 [/mm] $

Viele Grüße

Nadia..


Wie bestimme ich jetzt endlich die Schnittgerade?


Bezug
                        
Bezug
Schnittegerade bestimmen.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:16 Sa 02.07.2011
Autor: MathePower

Hallo Nadia..,

> Super Vielen Dank,
>  Mit dem Grußverfahren erhalte ich dann:
>  
>
> $ [mm]\begin{pmatrix} -1&0&1&0 \\ 0&-1&0&-1 \\ -1&0&0&1 \\ 0&0&-1&1\\0&0&0&0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\\ -1\\0 \end{pmatrix}[/mm]
> $
>  
> Ich erhalte dann, [mm]r_2=1+s_2,s_2=r_1,s_2=-s_1,r_1=-1+s_2[/mm]
>  
> Viele Grüße
>
> Nadia..
>  
> Wie bestimme ich jetzt endlich die Schnittgerade?
>  


Setze die erhaltenen Parameter in eine der Ebenengleichung ein.


Gruss
MathePower

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