Schnittgeradenbestimmung < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:17 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Clone |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebenen [mm] E_0: [/mm] 2x+6y+9z=121 und [mm] E_1: [/mm] 6x+7y-6z=-121.
a) Zeige, dass die Ebenen orthogonal zueinander sind. Stelle eine Gleichung der Schnittgeraden g auf. |
Hallo,
also zunächst habe ich mit dem Skalarprodukt beider Normalen gezeigt, dass die Ebenen orthogonal zueinander sind.
Ein Problem ist jetzt die Schnittgerade g zu bestimmen. In der Schule haben wir zwar Schnittgeraden bestimmt, aber die Ebenen waren in Parameterform gegeben. Aus diesem Grund habe ich versucht die Ebene [mm] E_0 [/mm] in Parameterform zu bringen. Dazu habe ich einen Punkt P(5/5/9) bestimmt, der in der Ebene liegt und zwei Richtungsvektoren $ [mm] \vec{u}=\vektor{-3 \\ 1 \\ 0} [/mm] $ und [mm] $\vec{v}=\vektor{0 \\ -3 \\ 2}$ [/mm] bestimmt. Diese habe ich durch ausprobieren herausbekommen. Damit habe ich die Ebene [mm] E_0 [/mm] in Parameterform gebracht $ [mm] \vec{x}=\vektor{5 \\ 5 \\ 9}+\lambda\vektor{-3 \\ 1 \\ 0}+\mu\vektor{0 \\ -3 \\ 2} [/mm] $. Diese Parameterform habe ich in die Ebene [mm] E_1 [/mm] für [mm] \vec{x} [/mm] eingesetzt und nach [mm] \lambda [/mm] aufgelöst. Damit erhalte ich die Schnittgerade [mm] $\vec{s}_E_0,E_1=\vektor{-31 \\ 17 \\ 9}+\mu\vektor{9 \\ -9 \\ 2}$.
[/mm]
Sind meine Überlegungen richtig. Falls ja => Gibt es eine einfachere Möglichkeit die Schnittgerade g zu bestimmen.
Danke für die Geduld.
Gruß
Clone
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:02 Sa 17.02.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Clone!
Ich wäre hier auf demselben Weg vorgegangen.
Allerdings erhalte ich in der Schnittgeraden einen leicht anderen Richtungsvektor mit:
[mm] $\vec{g}_s [/mm] \ = \ [mm] \vektor{-31 \\ 17 \\ 9}+\mu*\vektor{9 \\ -\red{6} \\ 2}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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