Schnittpunkt < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Di 13.06.2006 | | Autor: | jojo1484 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Gerade
g: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 \\ 2 \\ -1 } [/mm] + t* [mm] \pmat{ 1 \\ 6 \\ 2 } [/mm] ; t [mm] \in \IR
[/mm]
und die Ebene
E: 5 [mm] x_{1} [/mm] + 4 [mm] x_{2} [/mm] + 3 [mm] x_{3} [/mm] + 20 = 0
a) Berechne den Schnittpunkt S von g und E
b) Der Punkt P sei irgend ein Punkt auf g. Erläutere, wie der Abstand von P zu E berechnet werden kann. |
kann mir jemand mit dieser Aufgabe helfen?? i blick die irgendwie auf keinem Auge!!
vielen dank!
gruß jojo1484
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Hallo jojo!
Schreibe die Ebenengleichung um zu:
$E \ : \ [mm] 5*x_1+4*x_2+3*x_3+20 [/mm] \ = \ [mm] \vektor{5\\4\\3}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] + 20 \ = \ [mm] \vektor{5\\4\\3}*\vec{x}+20 [/mm] \ = \ 0$
Nun mit der Geradengleichung den Term von [mm] $\vec{x}$ [/mm] in diese Ebenengleichung einsetzen, die  Skalarprodukte ausrechnen und nach $t \ = \ ...$ umstellen.
Diesen Wert in der Geradengleichung liefert den gesuchten Schnittpunkt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 Di 13.06.2006 | | Autor: | jojo1484 |
so ich weis jetzt nicht ob ich das richtige gemacht habe, aber ich hoffe es zumindest!
habe nun für [mm] t_{1} [/mm] = -6
für [mm] t_{2} [/mm] = -7/6
für [mm] t_{3} [/mm] = -17/6
also: [mm] \vec{t} [/mm] = [mm] \pmat{ -6 \\ -7/6 \\ -17/6}
[/mm]
ist das jetzt der Schnittpunkt oder hab ich alles föllig falsch gemacht??
vielen dank für eure hilfe!!
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Hallo jojo!
Was hast Du denn hier gerechnet? ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]")
Es gibt nur ein $t_$ als Parameter (und nicht [mm] $t_1$ [/mm] , [mm] $t_2$ [/mm] und [mm] $t_3$ [/mm] ).
Wenn Du nach dem Einsetzen die entsprechenden Skalarprodukte ausgerechnet hast, solltest Du eine lineare Gleichung mit $t_$ erhalten.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Mi 14.06.2006 | | Autor: | SLe |
Nach Einsetzen von x in die Gleichung: (5/4/3)*x+20=0:
(5/4/3)*[(2/2/-1)+t*(1/6/2)]+20
also (5/4/3)*(2+t/2+6t/-1+2t)+20=0
skalar ausmultipliziert: 5*(2+t)+4*(2+6t)+3*(-1+2t)+20=0
=>t=-1
dann t in die Geradengleichung einsetzen.
t=-1
xs1=1
xs2=-4
xs3=-3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Mi 14.06.2006 | | Autor: | ely |
Hallo!
a) scheint ja gelöst zu sein. ich kann zwar nicht ganz nachvollzein wie ihr das angestellt habt aber es kommt ein ergebnis raus. das is ja das wichtigste!
alos zu b)
du kannst dien abstand mit der hesse'schen normalformel (formalheft wenn du so was hast) berechnen.
oder (aber das is um einiges komplizierter) du rechnest dir den winkel aus den die gerade mit der ebene einschließt. dann berechnest du den abstand zwischen schnittpunkt und Punkt der gesucht ist. mit
Sin (Einschlußwinkel) = [mm] \bruch{d}{ \overline{SP}}
[/mm]
d= ist gesucht und auf das musst du dann umformen.
aber ´nimm lieber die HNF
lg ely
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