Schnittpunkt Ebene mit Gerade < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Mi 05.03.2008 | | Autor: | lcdr |
| Aufgabe | Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ 0} [/mm] + r [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ 0}, [/mm] r [mm] \in [/mm] R.
a)Berechnen Sie die Schnittpunkte [mm] S_{12}, S_{13}, S_{23} [/mm] der Geraden g mit den drei Koordinatenebenen.
b)Berechnen Sie den den Flächeninhalt des Dreiecks, das durch die 3 Punkte [mm] S_{13}, S_{23} [/mm] und dem Nullpunkt gebildet wird. |
Kann mir jemand sagen, was die genaue Ebenengleichung ist für die x1-x3 Ebene, x2-x3 Ebene und wie man den Schnittpunkt mit der Geraden rauskriegt.
Ich hab mal für die x1-x3 Ebene die Ebenengleichung [mm] \vektor{x_{1} \\ 0\\ x_{3}} [/mm] + [mm] l\vektor{x_{1} \\ 0\\ x_{3}} [/mm] + [mm] s\vektor{x_{1} \\ 0\\ x_{3}} [/mm] mit der obigen Geradengleichung gleichgesetzt, aber da kommt nix Anständiges raus. Bleibe da hängen. Weiss nicht, ob man überhaupt eine Ebene mit einer Geraden gleichsetzten darf Das Endergebnis habe ich, aber weiss nicht, wie man dahin kommt. Kann mir jemand den Lösungsweg erklären. Vielen Dank für die Hilfe.
Lösung lautet:
a) 1-3 Ebene: [mm] x_{2} [/mm] = 0 für r = 2, also [mm] \vec{x_{12}} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ 0\\ 2}
[/mm]
2-3 Ebene: [mm] x_{1} [/mm] = 0 für r = 1, also [mm] \vec{x_{23}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 1}
[/mm]
b) [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{-1 \\ -1\\ 1} [/mm] = 0, also [mm] \vektor{0 \\ 1\\ 1} \perp \vektor{-1 \\ -1\\ 1} [/mm] d.h. die drei Punkte bilden ein rechtwinkliges Dreieck [mm] \\
[/mm]
[mm] \vmat{\vec{x_{13}} - \vec{x_{23}}} [/mm] = [mm] \wurzel{3} [/mm] und [mm] \vmat{ \vec{x_{23} }} [/mm] = [mm] \wurzel{2}. \\ [/mm] Damit A = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] \wurzel{3}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mi 05.03.2008 | | Autor: | chrisno |
> Gegeben ist eine Gerade g mit der Gleichung [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ 0}[/mm] + r [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}\\ 0},[/mm]
> r [mm]\in[/mm] R.
> a)Berechnen Sie die Schnittpunkte [mm]S_{12}, S_{13}, S_{23}[/mm]
> der Geraden g mit den drei Koordinatenebenen.
> b)Berechnen Sie den den Flächeninhalt des Dreiecks, das
> durch die 3 Punkte [mm]S_{13}, S_{23}[/mm] und dem Nullpunkt
> gebildet wird.
> Kann mir jemand sagen, was die genaue Ebenengleichung ist
> für die x1-x3 Ebene, x2-x3 Ebene und wie man den
> Schnittpunkt mit der Geraden rauskriegt.
Das würde ich in diesem Fall nie mit einer Ebenengeleichung machen. In der [mm] x_1-x_2 [/mm] Ebene gilt immer [mm] x_3 [/mm] = 0, also musst Du nachsehen, für welches r [mm] x_3 [/mm] = 0 wird. Für die anderen Ebenen entsprechend.
Dann wäre es hilfreich, wenn Du die Gerdadengleichung richtig angibst. So ist es eine allgemeine Beschreibung einer Gerade in der [mm] x_3 [/mm] = 0 Ebene, die durch den Ursprung verläuft. Für die gibt es das gesuchte Dreieck nicht.
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