Schnittpunkt und Schnittwinkel < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass sie die Geraden g:x = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
und [mm] h:x=\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + s* [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] schneiden.
Bestimmen Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel |
Ich komme nicht auf den richtigen Lösungsansatz. Ich weiß, dass sich geraden schneiden, wenn die Richtungsvektoren keine vielfachen voneinander sind und das lineare Gleichnungssystem eine Lösung hat, aber wie setzte ich dass auf diese Aufgabe um?
Vielen Dank für die Hilfe.
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Hallo jeffmaus,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Setze beide Geradengleichungen gleich:
[mm] $$\begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + r * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] \ = \ [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] s*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
[/mm]
[mm] $$\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] \ = \ r * [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] s*\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
I 3 = -1r + 2s
II 2= 1r + 3s
III -1 = -2r + 1s
Daraus folgt das LGS:
I -1 2 /3
II 1 3 /2
III -2 1 /-1
Ist das richtig? Jetz würde ich II in I einsetzten und dann würde ich II * 2 rechnen und mit III addieren
Dann kömme ich auf
I 0 5 /5
II 1 3 / 2
III 0 5 /3
Das ist wahrscheinlich nicht richtig oder'?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:36 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Warum machst du es so kompliziert?
Aus $ [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] \ = \ r [mm] \cdot{} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] s\cdot{}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] $
wird das GLS:
[mm] \vmat{-r+2s=3\\r+3s=2\\-2r+s=-1}
[/mm]
Und das löse mit dem  Gauß-Algorithmus
[mm] \vmat{-r+2s=3\\r+3s=2\\-2r+s=-1}
[/mm]
[mm] \stackrel{\green{G1+G2};\blue{2*G1-G3}}{\gdw} \vmat{-r+2s=3\\\green{...}\\\blue{...}}
[/mm]
Damit solltest du dann einheitliche Werte für s haben, und damit kannst du dann r bestimmen.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Mi 17.06.2009 | | Autor: | jeffmaus |
Also auf ein Neues:
-r +2 s = 3
0 +5s = 5
0 + 3s = 8
Ist das besser?
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Hallo jeffmaus,
> Also auf ein Neues:
>
> -r +2 s = 3
> 0 +5s = 5
> 0 + 3s = 8
>
> Ist das besser?
nein, denn es gibt kein s, das die beiden letzten Gleichungen löst:
(II) s=1
(III) [mm] s=\bruch{8}{3}
[/mm]
Da musst du dich irgendwo verrechnet haben.
Du weißt doch: Mit einer Lösung auch immer den Lösungsweg posten!
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:04 Mi 17.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Hallo
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> Warum machst du es so kompliziert?
>
> Aus [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \ = \ r \cdot{} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + s\cdot{}\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> wird das GLS:
> [mm]\vmat{-r+2s=3\\r+3s=2\\-2r+s=-1}[/mm]
>
> Und das löse mit dem Gauß-Algorithmus
Hallo Marius,
warum machst DU es so kompliziert? Man löst das GS aus den ersten beiden Gleichungen, bestimmt also r und s und testet einfach, ob r und s auch die dritte Gleichung erfüllen.
Gruß Abakus
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> [mm]\vmat{-r+2s=3\\r+3s=2\\-2r+s=-1}[/mm]
> [mm]\stackrel{\green{G1+G2};\blue{2*G1-G3}}{\gdw} \vmat{-r+2s=3\\\green{...}\\\blue{...}}[/mm]
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> Damit solltest du dann einheitliche Werte für s haben, und
> damit kannst du dann r bestimmen.
>
> Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:09 Mi 17.06.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo Marius,
> warum machst DU es so kompliziert? Man löst das GS aus den
> ersten beiden Gleichungen, bestimmt also r und s und testet
> einfach, ob r und s auch die dritte Gleichung erfüllen.
> Gruß Abakus
Hallo Abakus
Das geht natürlich auch. In Anbetracht der Tatsache, dass in der Vektrorrechnung öfter Gleichungssysteme vorkommen werden, finde ich das Gauss-Verfahren doch universeller. Klar geht dein Verfahren hier etwas schneller.
Marius
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