Schranken bei Folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:41 Di 03.10.2006 | | Autor: | Nita |
Hallo liebe Leute!
Bitte helft mir, ich schreibe morgen eine KK in Mathe und habe erfahren, dass auch Beschränktheit von Folgen ein Thema sein wird. Allerdings hatten wir diese Aufgabenstellung noch nicht behandelt und immer nur Schranken geschätzt.
Übungsaufgabe:
an = (4n-4)/2n
Weisen sie die Beschränktheit nach.
Ich weiß, dass ich die obere Schranke herausfinde, indem ich die Bildungsvorschrift in eine Nullfolge umforme, so den Grenzwert ermittle, welcher ja ebenfalls eine obere Grenze darstellt. Doch wie finde ich die untere Grenze?
Bitte helft mir, ich weiß so langsam nicht mehr weiter.
Vielen Dank
Eure Nita
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Di 03.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
es gibt einen Satz für Folgen bezüglich ihrem Grenzwert der lautet:
Ist eine Folge [mm] a_{n} [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt, so konvergiert sie gegen einen Grenzwert. Die Folge hier in deiner Aufgabe ist, wie du ja schon gesagt hast konvergent, denn sie ist 1. monoton wachsend und 2. nach oben beschränkt, da sie eine kleinste obere Schranke besitzt, ein sog. Supremum.
Wenn du wissen willst, ob sie nach unten hin auch gegen einen Grenzwert konvergiert musst du nur überprüfen, ob sie monoton fallend ist und nach unten beschränkt ist. Die Folge hier, ist nicht monoton fallend sondern nur monoton wachsend. Also kann sie gegen keinen unteren Grenzwert konvergieren, weil das 1. Kriterium schon nicht erfüllt ist.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Di 03.10.2006 | | Autor: | Nita |
Danke, aber ich denke wir meinen nicht da selbe? Ich möchte ja keinen unteren Grenzwert sondern eine untere Schranke s.
Die Werte müssen sich dieser Schranke ja nicht annähern sondern die Schranke muss lediglich nicht überschritten werden.
Weiß nicht recht wie ich das beschreiben soll?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 Di 03.10.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
ich weiss schon wie du das meinst. Du meinst, ob es eine untere Schranke gibt, so das jedes Folgenglied, welches nach dieser unteren Schranke kommt, größer als das nachfolgende ist. Das ist hier aber nicht möglich, da du immer wieder ein n finden kannst, so das der Vorgänger dieses Folgengliedes wieder kleiner ist als der Vorgänger. Somit ist die Definition der kleinsten unteren Schranke verletzt und es gibt somit auch keine. Um es ganz allgemein zu sagen.
Um zu zeigen das deine Folge eine untere Schranke besitzt, müsstest du folgendes zeigen.
[mm] \exists n_{0}\in \IN, [/mm] so das [mm] \forall n\ge n_{0} [/mm] gilt: [mm] a_{n_{0}}\le a_{n}
[/mm]
Das ist hier nicht möglich, da du immer wieder ein n finden kannst, welches kleiner als [mm] n_{0} [/mm] ist, so dass auch [mm] a_{n_{0-1}}\le a_{n_{0}} [/mm] ist.
Damit ist gezeigt, das es keine untere Schranke gibt.
Ich hoffe ich habe es einigermaßen verständlich erklärt.
Gruß,
clwoe
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