Schwerpunkt eines Zykloiden < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | x(t) = [mm] \vektor{t-sin(t) \\ 1-cos(t)}
[/mm]
Finden Sie den Flächeninhalt des Zykloiden und den Schwerpunkt dieser Fläche! |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
mein Problem ist, dass ich anscheinend nicht den richtigen Lösungsweg für den Schwerpunkt finde.
[mm] x_{s} [/mm] = [mm] \bruch{M_{x}}{M}
[/mm]
Ich habe die oben stehende Formel wahrscheinlich einfach nur falsch verwendet. Ich weiß nicht genau, wie man sie für eine paramaterisierte Funktion verwendet. Muss das vielleicht über ein Doppelintegral gelöst werden?
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Du hast schon recht mit deinem Doppelintegral.
Eine Fläche wird i.a. mittels [mm] $\integral\integral [/mm] dxdy$ berechnet. Der x-Wert des Schwerpunktes ergibt sich dann aus [mm] $s_x=\bruch{\integral \integral xdxdy}{\integral\integral dxdy}$
[/mm]
Mit dem y-Wert gehts genauso.
Vielleicht formst du die y-Komponente nach t um und setzt das in die x-Komponente ein.
y läuft ja von 0 bis 2, das sind die einen Integrationsgrenzen. Die Integrationsgrenzen für x ergeben sich eben durch das Einsetzen. Man müßte mal schauen, wie das klappt.
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"Der Zykloid" klingt nach Odysseus und "der Zyklop". Ich kenne das als "die Zykloide". Aber sei's drum.
Die Zykloide ist zunächst einmal eine Kurve. Du redest aber vom Schwerpunkt einer Fläche. Die müßte genauer beschrieben werden. Zunächst einmal fehlt die Angabe des Parameterintervalls. Solange du nichts anderes sagst, vermute ich einmal, daß es sich um [mm][0,2 \pi][/mm] handelt. Das würde dann genau einen Zykloidenbogen ausmachen. Und welche Fläche? Vermutlich diejenige zwischen dem beschriebenen Bogen und der [mm]x[/mm]-Achse. Wenn es anders ist, mußt du das sagen. Es kann nicht Sinn dieses Forums sein, deine Aufgabe zu erraten, nur weil entscheidende Voraussetzungen fehlen.
Als Parameterdarstellung haben wir also
[mm]x = t - \sin{t} \, , \ \ y = 1 - \cos{t} \, ; \ \ \ 0 \leq t \leq 2 \pi[/mm]
Nun gilt: [mm]\dot{x} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 1 - \cos{t} > 0[/mm] für [mm]0 < t < 2 \pi[/mm]. Daher wird das [mm]t[/mm]-Parameterintervall [mm][0,2 \pi][/mm] streng monoton wachsend auf das [mm]x[/mm]-Intervall [mm][0,2 \pi][/mm] abgebildet. Der Zykloidenbogen ist daher Graph einer Funktion [mm]y = f(x), \, \ 0 \leq x \leq 2 \pi[/mm]. Wenn nun [mm]A[/mm] die Fläche zwischen dem Graphen und der [mm]x[/mm]-Achse bezeichnet, so wird diese durch die Ungleichungen
[mm]0 \leq x \leq 2 \pi \, , \ \ 0 \leq y \leq f(x)[/mm]
beschrieben. Ihr Inhalt ist
[mm]\mu(A) = \iint_A~\mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \ = \ \int_0^{2 \pi}~f(x)~\mathrm{d}x[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zur Berechnung der Fläche empfiehlt es sich, neue Koordinaten einzuführen, wie sie durch die Parameterdarstellung der Zykloide nahegelegt werden:
[mm]x = t - \sin{t} \, , \ \ y = f(x) = f(t - \sin{t}) = 1 - \cos{t} \, ; \ \ \ 0 \leq t \leq 2 \pi[/mm]
Dann gilt nach der Substitutionsregel:
[mm]\mu(A) = \int_0^{2 \pi}~(1 - \cos{t})~\mathrm{d}(t - \sin{t})[/mm]
Und bei der [mm]y[/mm]-Koordinate des Schwerpunktes hat man analog zu rechnen:
[mm]y_{\text{ SP}} = \frac{1}{\mu(A)} \iint_A~y \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y \ = \frac{1}{2 \mu(A)} \int_0^{2 \pi}~\left( f(x) \right)^2~\mathrm{d}x[/mm]
Auch hier ersetzt man [mm]f(x)[/mm] durch [mm]1 - \cos{t}[/mm] und [mm]x[/mm] durch [mm]t - \sin{t}[/mm].
Bei der [mm]x[/mm]-Koordinate des Schwerpunktes sollte man sich nicht verkünsteln. Aufgrund der Symmetrie der Fläche ist die anschaulich völlig klar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Di 01.08.2006 | | Autor: | HerrSchaf |
Vielen Dank für eure Hilfe...
Das mit der unvollständigen Fragestellung wird nicht mehr vorkommen.
Vielen dank.
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