Semidirektes Produkt < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:25 Di 26.11.2013 | | Autor: | Maxga |
| Aufgabe | Zeige:
[mm] GL_n(K) [/mm] ist semidirektes Produkt von [mm] SL_n(K) [/mm] und [mm] K^{\times} [/mm] ,
wobei K ein Körper ist. |
Hey,
habe derzeit ein wenig Probleme die Definitionen
eines semidirekten Produktes auf die obige Aufgabe anzuwenden,
weil irgendwie beide nicht passen.
[mm] K^{\times} [/mm] = [mm] \{ k \in K | k^{-1} exestiert \} [/mm] soweit ich weiß.
Jetzt kenne ich zwei Definitionen für semidirektes Produkt,
nämlich einmal:
(i) G ist äußeres semidirektes Produkt aus U und N. Dazu müssen U und N Gruppen sein und G=UxN muss gelten und es muss noch eine eigenschaft für die verknüpfung in der Gruppe gelten, die gerade erstmal nicht relevant ist.
[mm] GL_n(K) [/mm] = [mm] SL_n(K) [/mm] x [mm] K^{\times} [/mm] kann aber von der Struktur her irgendwie nicht sein, denn in [mm] GL_n(K) [/mm] sind Matrizen und keine Tupel.
(ii) G ist inneres semidirektes Produkt aus U und N. Dazu muss N normalteiler und U Untergruppe von G sein, es muss G=UN und G [mm] \cap [/mm] U = [mm] \{ e \} [/mm] muss gelten.
Das passt hier aber auch nicht, denn [mm] K^{\times} [/mm] ist keine Untergruppe von [mm] GL_n(K).
[/mm]
Irgendwie passen also beide Definitionen nicht so richtig,
und ich weiß nicht genau, was ich hier zeigen soll?
Danke euch!
LG
|
|
| |
|
Hey,
ich würde das innere semidirekte Produkt empfehlen.
Du kannst [mm] $K^\*$ [/mm] in [mm] $GL_n(K)$ [/mm] einbetten, indem du ein $k [mm] \in K^\*$ [/mm] mit [mm] $k*I_n$ [/mm] ($k$ Mal die Einheitsmatrix) identifizierst.
Wie du dir leicht klar machen kannst, ist die so entstehende Untergruppe von [mm] $GL_n(K)$ [/mm] isomorph zu [mm] $K^\*$.
[/mm]
lg
Schadow
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:37 Di 26.11.2013 | | Autor: | Maxga |
Hey,
danke dir erstmal. Ja das klingt vernünftig,
und hatte ich mir auch schon überlegt.
Aber wenn ich das so mache, dann zeige ich doch, dass [mm] GL_n(K) [/mm] inneres Produkt aus [mm] H:=\{ k*I_n | k \in K^{\times} \} [/mm] und [mm] SL_n(K) [/mm] ist,
was irgendwie im Gegensatz zur Aufgabenstellung steht?
In den Definitionen ist nämlich von Isomorphie nirgendwo die Rede, sondern immer von Gleichheit von Mengen.
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Do 28.11.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
