Senkrechte auf zwei Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Sa 03.07.2010 | | Autor: | begker |
| Aufgabe | Gegeben seien die Geraden
g = [mm] \vektor{7 \\ 10 \\ 1} [/mm] + s* [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0}
[/mm]
h = [mm] \vektor{9 \\ -2 \\ -1} [/mm] + r* [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ -1}
[/mm]
Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt S(3;2;1).
Eine Gerade k schneidet die Geraden g und h senkrecht im Punkt S. Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden k.
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Weil die Gerade k senkrecht auf die anderen beiden Geraden fällt, muss das Skalarprodukt von k und g und von k und h jeweils 0 sein.
Es muss also gelten:
x(k)*1 + y(k)*2 + z(k)*0 = 0
x(k)*3 + y(k)*-2 + z(k)*-1 = 0
Ich dachte, dass ich über ein Gleichungssystem an die x, y, z - Koordinaten des Richtungsvektors von k komme, aber dazu fehlt mir noch eine zusätzliche Gleichung.
Habt Ihr eine Idee?
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Hallo,
Loddars Lösungsweg ist sehr simpel und korrekt, nur als kleine Anmerkung:
Zwei sich schneidende Geraden bestimmen eine eindeutige Ebene.
Wenn diese errechnet wird, kannst du auch einen Normalenvektor dieser Ebene bestimmen. Dieser wäre dementsprechend auch der Richtungsvektor deiner zu bestimmenden Geraden.
Gruß, Melvissimo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Di 06.07.2010 | | Autor: | begker |
Hallo Loddar, hallo Melvissimo,
erstmal vielen Dank für eure schnellen Antworten. Zwei Fragen hab ich aber doch noch: erstens verläuft der zu errechnende Normalvektor durch den Schnittpunkt der Geraden g un h S(3;2;1). Dann kann es doch nicht unendlich viele Geraden geben, die senkrecht auf g und h stehen und durch S verlaufen, oder?
Und selbst wenn der Schnittpunkt nicht gegeben wäre, so müsste der Richtungsvektor der Senkrechte doch eindeutig bestimmbar und auch einzigartig sein, denn wenn ich den Normalenvektor nur in Richtung irgendeiner Koordinatenachse drehe, verändert sich doch in jedem Fall der Winkel zwischen Normalenvektor und "g-h-Ebene". (Ich bin bei der Vektorrechnung immer auf meine Vorstellungskraft angewiesen, und unendlich viele mögliche Normalen auf die Ebene kann ich mir gerade gar nicht recht vorstellen…).
Nochmal besten Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:00 Di 06.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hallo Loddar, hallo Melvissimo,
> erstmal vielen Dank für eure schnellen Antworten. Zwei
> Fragen hab ich aber doch noch: erstens verläuft der zu
> errechnende Normalvektor durch den Schnittpunkt der Geraden
> g un h S(3;2;1). Dann kann es doch nicht unendlich viele
> Geraden geben, die senkrecht auf g und h stehen und durch S
> verlaufen, oder?
Das hat auch niemand behauptet! Die Gerade ist eindeutig bestimmt.
> Und selbst wenn der Schnittpunkt nicht gegeben wäre, so
> müsste der Richtungsvektor der Senkrechte doch eindeutig
> bestimmbar und auch einzigartig sein, denn wenn ich den
> Normalenvektor nur in Richtung irgendeiner Koordinatenachse
> drehe, verändert sich doch in jedem Fall der Winkel
> zwischen Normalenvektor und "g-h-Ebene". (Ich bin bei der
> Vektorrechnung immer auf meine Vorstellungskraft
> angewiesen, und unendlich viele mögliche Normalen auf die
> Ebene kann ich mir gerade gar nicht recht vorstellen…).
> Nochmal besten Dank!!
Die Richtung des Normalenvektors ist auch eindeutig bestimmt, die ist ja durch die Gerade festgelegt. Was nicht festgelegt ist, ist die Länge des Normalenvektors, weswegen es auch ein (und nicht der) Normalenvektor heißen muß. Selbst wenn man die Länge auf 1 festlegt (dann hat man einen Normaleneinheitsvektor), gibt es immer noch zwei Möglichkeiten. Halt einfach ein Blatt Papier in die Luft und zeig mit einem kurzen und einem langen Bleistift zugehörige Normalenvektoren.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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