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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Sa 29.03.2008 | | Autor: | penguin |
| Aufgabe | Es sei 0 [mm] \to V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to [/mm] 0 eine kurze exakte Sequenz, wobei [mm] \alpha:V_{1} \to V_{2} [/mm] und [mm] \beta:V_{2} \to V_{3} [/mm] und [mm] \gamma:V_{3} \to [/mm] 0
Beweise:
a) Die oben genannte Sequenz spaltet.
b) Es existiert ein Isomorphismus [mm] V_{2} \cong V_{1} \oplus V_{3}
[/mm]
ps:Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
zu a)
Also ich weiss, das eine Sequenz spalted, wenn eine Abbildung [mm] \delta:V_{3} \to V_{2} [/mm] existiert, sodass [mm] \beta\circ\delta=Id_{V3} [/mm] ist. [mm] \delta [/mm] ist die Umkehrabbildung zu [mm] \beta, [/mm] d.h, dass ich zeigen muss, dass [mm] \beta [/mm] bijektiv ist, denn es gilt nach einer Definition, die ich gelernt habe, dass jede Umkehrabbildung bijektiv ist.
Also bedeutet das, dass ich zeigen muss, dass [mm] \beta [/mm] surjektiv und injektiv ist.
zur surjektivität:
für [mm] \beta [/mm] gilt: [mm] \forall v_{3} \in V_{3} \exists [/mm] min ein [mm] v_{2} \in V_{2} [/mm] : [mm] \beta(v_{2})=v_{3}
[/mm]
aber bei exakten Sequenzen gilt ja auch noch, dass [mm] Im(\beta) [/mm] = [mm] Ker(\gamma) [/mm] ist und das daraus folgt, dass [mm] \beta [/mm] surjektiv ist. Also so hatten wir das in der Vorlesung definiert, nur ich weiss trotzdem nicht so genau, wie mir das weiterhelfen soll, oder ob es schon reicht, das zu sagen. Kann mir da viell jemand einen Tipp geben...
zur Injektivität ist mir auch noch nicht so super viel eingefallen, nur dass ich doch zeigen muss, dass ein Element aus [mm] V_{2}= [/mm] ein Element aus [mm] V_{3} [/mm] ist oder...
wenn ich dann nämlich gezeigt habe, dass [mm] \beta [/mm] surjektiv und injektiv ist, kann ich daraus folgern, dass [mm] \beta [/mm] bijektiv ist und dann weiss ich auch, dass es eine Umkehrabbildung gibt und dann muss ich nur noch zeigen, dass [mm] \beta \circ \gamma(v_{3})=\beta (\gamma(v_{3}))=\beta(v_{2})=v_{2} [/mm] ist, und das ist ja dann die Identität von [mm] V_{3}
[/mm]
Also es wäre echt super nett, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte, denn ich schreib bald meine Klausur und ich bin mir ziemlich sicher, dass sowas drankommt...
lg penguin
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> Es sei 0 [mm]\to V_{1} \to V_{2} \to V_{3} \to[/mm] 0 eine kurze
> exakte Sequenz, wobei [mm]\alpha:V_{1} \to V_{2}[/mm] und
> [mm]\beta:V_{2} \to V_{3}[/mm] und [mm]\gamma:V_{3} \to[/mm] 0
>
> Beweise:
>
> a) Die oben genannte Sequenz spaltet.
> zu a)
> Also ich weiss, das eine Sequenz spalted, wenn eine
> Abbildung [mm]\delta:V_{3} \to V_{2}[/mm] existiert, sodass
> [mm]\beta\circ\delta=Id_{V3}[/mm] ist.
Hallo,
und Du weißt, daß die Abbildung [mm] \beta [/mm] surjektiv ist.
Das bedeutet doch, daß es Elemente aus [mm] V_2 [/mm] gibt, die auf eine Basis v. [mm] V_3 [/mm] abgebildet werden.
Also:
es gibt [mm] (a_i)_{i\in I} [/mm] mit [mm] (\beta(a_i))_{i\in I} [/mm] ist eine Basis v. [mm] V_3.
[/mm]
Weiter ist jede lineare Abbildung eindeutig durch ihre Werte auf einer Basis definiert.
Und genau das werden wir jetzt tun: die Abbildung [mm] \delta: V_3\to V_2 [/mm] durch Angabe ihrer Werte auf [mm] (\beta(a_i))_{i\in I} [/mm] definieren:
es sei [mm] \delta: V_3\to V_2 [/mm] mit
[mm] \delta(\beta(a_i)):=a_i [/mm] für alle [mm] i\in [/mm] I.
Nun überzeuge Dich, daß diese Abbildung das Geforderte tut.
Noch eins:
> wenn eine Abbildung $ [mm] \delta:V_{3} \to V_{2} [/mm] $ existiert, sodass $ [mm] \beta\circ\delta=Id_{V3} [/mm] $ ist. $ > [mm] \delta [/mm] $ ist die Umkehrabbildung zu $ [mm] \beta, [/mm] $ d.h, dass ich zeigen muss, dass $ [mm] \beta [/mm] $ bijektiv ist
Das ist nicht in jedem Fall richtig.
Guck Dir dieses Beispiel an:
[mm] \beta:\IR^3\to \IR^2
[/mm]
[mm] \beta(\vektor{1\\0\\0}):=\vektor{1\\0}
[/mm]
[mm] \beta(\vektor{0\\1\\0}):=\vektor{0\\1}
[/mm]
[mm] \beta(\vektor{0\\0\\1}):=\vektor{0\\1}.
[/mm]
[mm] \beta [/mm] ist surjektiv.
Jetzt definiere ich [mm] \delta:\IR^2\to \IR^3 [/mm] mit
[mm] \delta(\vektor{1\\0}):=\vektor{1\\0\\0}
[/mm]
[mm] \delta(\vektor{0\\1}):=\vektor{0\\1\\0}.
[/mm]
Nun guck' die Verkettung [mm] \beta\circ \delta: \IR^2 \to \IR^2 [/mm] an: es ist die Identität auf [mm] \IR^2, [/mm] jedoch ist [mm] \beta [/mm] keinesfalls injektiv.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 So 30.03.2008 | | Autor: | penguin |
Hey, danke für deine Antwort.
Also könnte ich den Beweis vielleicht so ausführen...
Aus der Definition folgt, dass [mm] \beta [/mm] surjektiv ist (warum eigentlich genau, da bin ich mir noch nicht ganz sicher)
[mm] \beta:V_{2} \to V_{3} [/mm]
v [mm] \mapsto (a_i)_{i\in I} [/mm] wobei [mm] (a_i)_{i\in I} [/mm] eine Basis von [mm] V_3 [/mm] ist.
Sei nun ein v [mm] \in V_2 [/mm] gegeben. Dann ist zu zeigen, dass [mm] \delta(\beta(v)):=v [/mm] für alle [mm] i\in [/mm] I gilt.
[mm] \delta \circ (\beta(v))=\delta(\beta(v))=\delta(a_i)=v [/mm]
dies zeigt, dass [mm] \beta\circ\delta=Id_{V2} [/mm] ist und somit ist die Abbildung bijektiv und spalted.
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> Also könnte ich den Beweis vielleicht so ausführen...
>
> Aus der Definition folgt, dass [mm]\beta[/mm] surjektiv ist (warum
> eigentlich genau, da bin ich mir noch nicht ganz sicher)
Hallo,
das solltest Du Dir gründlich klarmachen:
Du hast doch eine exakte Sequenz, also ist [mm] bild\beta=kern\gamma.
[/mm]
[mm] \gamma [/mm] bildet den ganzen [mm] V_3 [/mm] auf die Null ab, also ist [mm] kern\gamma=V_3 [/mm] und somit ---
Das, was Du weiter tust, verwirrt mich etwas - unabhängig von den durchgeführten Rechenschritten. Möglicherweise liegt das daran, daß Du nicht genau schreibst, was Du nun bezweckst.
Eingangs schriebst Du doch, daß Du zeigen möchtest, daß ein [mm] \delta:V_3\to V_2 [/mm] existiert mit $ [mm] \beta\circ\delta=Id_{V3} [/mm] $, und nun schreibst Du:
> Dann ist zu zeigen, dass $ [mm] \delta(\beta(v)):=v [/mm] $ für alle $ [mm] i\in [/mm] $ I.
Das ist doch jetzt genau andersrum?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 31.03.2008 | | Autor: | penguin |
Ach bin ich verpeilt, habe die ganzen [mm] v_2 [/mm] und [mm] v_3 [/mm] vertauscht. Ist mir jetzt klar, wie das alles abläuft.
Vielen lieben Dank für deine Hilfe. Hat mir echt geholfen.
lg penguin
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