Shift-Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:16 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Shelli |
| Aufgabe | Sei V:=[mm]\{ p\in\IR[t] | deg p \le 5 \} [/mm]der Vektorraum aller Polynome in t mit reellen Koeffizienten und Grad [mm] \le5. [/mm]
Sei F: V [mm] \to [/mm] V die Shift-Abbildung (Fp)(t)=p(t+1)
a) Zeigen Sie, dass F linear ist.
b) Stellen Sie F bezüglich der Basis [mm] {1,t,...,t^{5}} [/mm] als Matrix dar.
c) Berechnen Sie dim ker F und dim Im F. |
Hallo!
Brauche mal ganz dringend Hilfe zu der Aufgabe.
Ich weiß zwar, wie ich Linearität zeige, aber mit dieser komischen Shift-Abbildung komm ich nicht klar. Also es muss ja gelten: [mm] F(\mu x+\lambda y)=\mu F8x)+\lambda [/mm] F(y). Kann mir das jemand mit der Shirt-Abbildung zeigen?
Wie kann ich dim ker F und dim Im F berechnen??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:30 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Zur Linearität:
(F(p+q))(t) = (p+q)(t+1) = p(t+1) +q(t+1) = (Fp)(t) +(Fq)(t) für jedes t,
also: F(p+q) = Fp +Fq
jetzt bist Du dran. Zeige [mm] F(\lambda [/mm] p) = [mm] \lambda [/mm] Fp
Tipp zu c): Zeige: F ist bijektiv.
FRED
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> Wie kann ich dim ker F und dim Im F berechnen??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Shelli |
Super danke! Das war ja einfacher als ich dachte. 
Also ist [mm] (f\lambda [/mm] p) = [mm] (\lambda [/mm] p)(t+1) = [mm] \lambda [/mm] p(t+1) = [mm] \lambda [/mm] (Fp)
Ist das schon der Beweis? Muss mich leider erst noch an das beweisen gewöhnen und bin ziemlich unsicher.
Zu c) wieso muss ich zeigen, dass F bijektiv ist? Kannst du mir das genauer erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Mo 03.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Super danke! Das war ja einfacher als ich dachte.
> Also ist [mm](f\lambda[/mm] p) = [mm](\lambda[/mm] p)(t+1) = [mm]\lambda[/mm] p(t+1)
> = [mm]\lambda[/mm] (Fp)
Das hast Du sehr unsauber aufgeschrieben. Besser:
[mm] (F(\lambda [/mm] p)(t) = [mm] (\lambda [/mm] p)(t+1) = [mm] \lambda [/mm] p(t+1) = [mm] \lambda [/mm] (Fp)(t) für jedes t,
also F( [mm] \lambda [/mm] p) = [mm] \lambda [/mm] Fp
>
> Ist das schon der Beweis? Muss mich leider erst noch an
> das beweisen gewöhnen und bin ziemlich unsicher.
>
> Zu c) wieso muss ich zeigen, dass F bijektiv ist? Kannst du
> mir das genauer erklären?
Müssen tust Du gar nichts ! Mein Vorschlag ist eine Möglichkeit.
Wenn F bijektiv ist, so ist kern(F) = {0} und F(V) = V
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Do 06.11.2008 | | Autor: | zipp |
Hallo !
ich habe gleiche Aufgaben gekriegt und habe Problem mit der b). Habe keine Ahnung wie man eine Matrix von Polynomen darstellt. Bitte um Hilfe. Morgen früh muss alles abgeben
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:03 Fr 07.11.2008 | | Autor: | sey |
Hey, habe ebenfalls selbige Aufgabe bekommen (vermute mal, dass wir an derselben Uni sind ^^) und habe folgendes Probleme damit:
a) f soll linear sein. ok. dann soll aber laut meinen informationen 0 auf 0 abgebildet werden und hier ist doch (Fp)(0)=p(0+1) = p und nicht 0, oder nicht?
Falls wir an derselben Uni sind, schau mal in deinen Mitschrieb, da steht das mit den Polynomen als Beispiel irgendwo drin!
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> Hey, habe ebenfalls selbige Aufgabe bekommen (vermute mal,
> dass wir an derselben Uni sind ^^) und habe folgendes
> Probleme damit:
> a) f soll linear sein. ok. dann soll aber laut meinen
> informationen 0 auf 0 abgebildet werden und hier ist doch
> (Fp)(0)=p(0+1) = p und nicht 0, oder nicht?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du scheinst etwas sehr Wesentliches nicht verstanden zu haben:
F ist eine Abbildung von V [mm] \to [/mm] V. Die Elemente von V sind Polynome.
Es ist völlig richtig, daß V die Null auf die Null abbilden muß. Aber nicht die Zahl 0 auf die Zahl 0, sondern die NUll in V auf die Null in V.
Da V Polynome enthält, ist die Null in V [mm] (0_V) [/mm] ein Polynom, nämlich das Nullpolynom [mm] n:=0*1+0*t+0*t^2+0*t^3+0*t^4+0*t^5=0.
[/mm]
Nun schauen wir mal, was F(n) ist:
F(n)(t)=n(t+1)=0, also das Nullpolynom. Alles in Ordnung!
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:25 Sa 08.11.2008 | | Autor: | sey |
Danke! So macht das alles viel mehr Sinn .. ^^;
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Hallo,
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Du hast den VR V mit der Basis [mm] B=(p_0:=1,p_1:=x,p_2:=x^2,...,p_5:=x^5) [/mm] und eine lineare Abbildung F, welche von V [mm] \to [/mm] V abbildet.
In die gesuchte darstellende Matrix kommen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B.
Ich mache Dir das an einem der Vektoren vor:
[mm] F(p_0)(x)=...
[/mm]
[mm] F(p_1)(x)= [/mm] ...
[mm] F(p_2)(x)=p_2(x+1) =(x+1)^2= x^2+2x+1=\red{1}*1 [/mm] + [mm] \red{2}*x [/mm] + [mm] \red{1}*x^2+ \red{0}*x^3 [/mm] + [mm] \red{0}*x^4 [/mm] + [mm] \red{0}*x^5=\vektor{1\\2\\1\\0\\0\\0}_{(B)}. [/mm] Die wäre der Vektor, der in die dritte Spalte der Matrix gehört.
[mm] F(p_3)(x)=...
[/mm]
[mm] F(p_4)(x)=...
[/mm]
[mm] F(p_5)(x)=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:06 Di 11.11.2008 | | Autor: | zipp |
Danke vielmals. Leider bekam ich die Antwort zu spät, es hilft mir aber in Weiterem.
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