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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Di 13.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Lage und Art der Singularitäten in [mm] \IC, [/mm] bei Polstellen auch die Ordnung:
a) [mm] \bruch{z^{2}+j}{z^{4}+1}
[/mm]
b) [mm] \bruch{e^{z}-1}{z^{2}*(z-1)^{3}}
[/mm]
c) [mm] \bruch{1}{sin^{2}z}
[/mm]
d) [mm] \bruch{1}{z}*e^{\bruch{1}{z-1}} [/mm] |
Hallo Zusammen,
kann mir da jemand Tipps geben wie ich an die Aufgaben dran gehen kann? Komme da nicht zurecht mit.
Vg
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Di 13.01.2015 | | Autor: | andyv |
Hallo,
für a) bis c) bestimme die Ordnung der Nullstellen von Zähler und Nenner an den Singularitäten. Daraus folgt sofort die Art der Singularitäten, als auch die Ordnung von möglichen Polstellen.
Um zu sehen, dass die Singularität z=1 der Funktion in d) wesentlich ist, entwickle die Exponentialfunktion.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 13.01.2015 | | Autor: | Exel84 |
Danke für deine schnelle Antwort.
Muss ich bei den Aufgaben a) bis c) nicht noch die geometrische Reihenentwicklung machen und die dann in eine Laurent-Reihe bringen?
vg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:22 Di 13.01.2015 | | Autor: | andyv |
Von müssen kann keine Rede sein, aber natürlich kannst du bei a) auch eine Partialbruchzerlegung durchführen und [mm] $\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n$, [/mm] falls $|z|<1$, verwenden oder bei c) die Potenzreihendarstellung des Sinus benutzen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:53 Mi 14.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Weiterer Vorschlag zu d): sei $f(z):= [mm] \bruch{1}{z}\cdot{}e^{\bruch{1}{z-1}} [/mm] $
(dass f in z=0 einen Pol erster Ordnung hat, dürfte klar sein).
Setze [mm] z_n:=1+\bruch{1}{n} [/mm] und betrachte das Verhalten der Folge [mm] (f(z_n)). [/mm] Was ist [mm] z_0=1 [/mm] jedenfalls nicht:
eine hebbare Sing., ein Pol oder eine wesentliche Sing. von f ?
Setze [mm] w_n:=1+\bruch{1}{jn} [/mm] und betrachte das Verhalten der Folge [mm] (f(w_n)). [/mm] Was ist [mm] z_0=1 [/mm] jedenfalls nicht:
eine hebbare Sing., ein Pol oder eine wesentliche Sing. von f ?
Was also bleibt ?
FRED
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