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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Do 21.05.2009 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Klassifizieren Sie die isolierten Singularitäten der folgenden Funktionen und geben Sie im Falle eines Pols dessen Ordnung an:
a) [mm] \bruch{1-cos(z)}{sin(z)}
[/mm]
b) [mm] \bruch{1}{e^z -1}
[/mm]
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Bei Aufgabe a) sind die isolierten Sinularitäten ja [mm] \IZ*\pi. [/mm] Dann habe ich mal mit folgendem Korollar versucht herauszufinden, ob es sich dabei um Polstellen handelt oder nicht:
Die Funktion f holomorph in [mm] D\c [/mm] hat genau dann einen Pol in c, wenn gilt:
[mm] \limes_{z\rightarrow c} [/mm] f(z) = [mm] \infty
[/mm]
Mit l'Hopital habe ich folgenden Ausdruck erhalten:
[mm] \limes_{z\rightarrow\ \IZ*\pi} \bruch{sin(z)}{cos(z)} [/mm] = 0
Also handelt es ich bei diesen Singularitäten nicht um Pole. Doch wie kann ich nun weitermachen?
Und wie soll ich bei b) am besten Beginnen? [mm] e^z [/mm] in eine Potenzreihe entwickeln?
Was gibt es denn allgemein für Strategien bei Aufgaben solcher Art?
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Hallo johnny11,
> Klassifizieren Sie die isolierten Singularitäten der
> folgenden Funktionen und geben Sie im Falle eines Pols
> dessen Ordnung an:
>
> a) [mm]\bruch{1-cos(z)}{sin(z)}[/mm]
>
> b) [mm]\bruch{1}{e^z -1}[/mm]
>
> Bei Aufgabe a) sind die isolierten Sinularitäten ja
> [mm]\IZ*\pi.[/mm] Dann habe ich mal mit folgendem Korollar versucht
> herauszufinden, ob es sich dabei um Polstellen handelt oder
> nicht:
>
> Die Funktion f holomorph in [mm]D\c[/mm] hat genau dann einen Pol in
> c, wenn gilt:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow c}[/mm] f(z) = [mm]\infty[/mm]
>
> Mit l'Hopital habe ich folgenden Ausdruck erhalten:
>
> [mm]\limes_{z\rightarrow\ \IZ*\pi} \bruch{sin(z)}{cos(z)}[/mm] = 0
>
> Also handelt es ich bei diesen Singularitäten nicht um
> Pole. Doch wie kann ich nun weitermachen?
L'Hospital kannst Du hier nur anwenden, wenn auch
[mm]1-\cos\left(z\right)=0[/mm]
ist, und das ist genau dann der Fall, wenn
[mm]z=2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
ist.
Deshalb ist auch noch zu untersuchen, welcher Art die Singularität ist,
wenn [mm]z=\left(2*k+1\right)*\pi, \ k \in \IZ[/mm] ist.
>
> Und wie soll ich bei b) am besten Beginnen? [mm]e^z[/mm] in eine
> Potenzreihe entwickeln?
> Was gibt es denn allgemein für Strategien bei Aufgaben
> solcher Art?
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:47 Fr 22.05.2009 | | Autor: | johnny11 |
Hallo
> L'Hospital kannst Du hier nur anwenden, wenn auch
>
> [mm]1-\cos\left(z\right)=0[/mm]
>
> ist, und das ist genau dann der Fall, wenn
>
> [mm]z=2*k*\pi, \ k \in \IZ[/mm]
>
> ist.
Das heisst also, dass [mm] z=2*k*\pi [/mm] keine Pole sind. Sind es dann hebbare Singularitäten? Oder wie kann ich dies herausfinden?
>
> Deshalb ist auch noch zu untersuchen, welcher Art die
> Singularität ist,
> wenn [mm]z=\left(2*k+1\right)*\pi, \ k \in \IZ[/mm] ist.
>
Wie kann ich denn hierfür vorgehen?
Ich habe eben gerade nicht so eine Ahnung, wie ich bei Aufgaben dieser Art vorgehen muss, wenn man die Singularitäten klassifizieren muss.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Fr 22.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei $k [mm] \in \IZ$ [/mm] und [mm] $z_0 [/mm] = k [mm] \pi$
[/mm]
Fall 1: k ist ungerade. Dann ist [mm] $1-cos(z_0) [/mm] = 2$, somit:
$ [mm] \bruch{1-cos(z)}{sin(z)} \to \infty$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$
[/mm]
Damit ist [mm] z_0 [/mm] ein Pol.
Fall 2: k ist gerade. Dann ist [mm] $1-cos(z_0) [/mm] =0$. Die Funktionen $1-cos(z)$ und $sin(z)$ haben somit in [mm] z_0 [/mm] jeweils eine Nullstelle der Ordnung 1. Also gibt es ganze Funktionen f und g mit:
$ [mm] \bruch{1-cos(z)}{sin(z)}= \bruch{(z-z_0)f(z)}{(z-z_0)g(z)} [/mm] = [mm] \bruch{f(z)}{g(z)}$ [/mm] und [mm] $f(z_0) \not= [/mm] 0 [mm] \not= g(z_0)$.
[/mm]
Somit:
[mm] $\bruch{1-cos(z)}{sin(z)} \to \bruch{f(z_0)}{g(z_0)}$ [/mm] für $z [mm] \to z_0$
[/mm]
Damit ist [mm] z_0 [/mm] eine hebbare Singularität.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:01 Fr 22.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> L'Hospital kannst Du hier nur anwenden, wenn auch
>
> [mm]1-\cos\left(z\right)=0[/mm]
Sicher, dass man die Regel im Komplexen anwenden kann? Der Beweis im Rellen benutzt spezielle Eigenschaften der Ableitungen im 1-dimensional rellen. Wenn es geht - kannst du mir eine Beweisquelle nennen?
SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:19 Fr 22.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b)
isolierte Singularitäten sind hier: $2k [mm] \pi [/mm] i$ mit $k [mm] \in \IZ$.
[/mm]
Wegen [mm] $e^z [/mm] -1 [mm] \to [/mm] 0$ für $z [mm] \to [/mm] 2k [mm] \pi [/mm] i$ handelt es sich um Pole (1. Ordnung)
FRED
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Hallo Fred,
Danke für deine hilfreichen Antworten. Ein bisschen Unklarheit herrscht aber immer noch:
> Wegen [mm]e^z -1 \to 0[/mm] für [mm]z \to 2k \pi i[/mm] handelt es sich um
> Pole (1. Ordnung)
Weshalb weiss ich, dass dies ein Pol erster Ordnung ist. Und wie finde ich die Ordnung des Pols von
[mm] \bruch{1-cos(z)}{sin(z)} [/mm] heraus? Der Pol ist ja bei [mm] z_0 [/mm] = [mm] k*\pi [/mm] für k ungerade. Doch was für eine Ordnung hat dieser Pol?
Und weshalb darf ich überhaupt sagen, dass [mm] \limes_{z\rightarrow\ z_{0}}\bruch{1-cos(z)}{sin(z)} [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
[mm] \limes_{z\rightarrow\ z_{0}}\bruch{1-cos(z)}{sin(z)} [/mm] = [mm] "\bruch{2}{0}".
[/mm]
Ich kann doch hier nicht einfach daraus schliessen, dass dieser Ausdruck unendlich ist? Oder habe ich das falsch im Kopf?
Analog bei [mm] \limes_{z\rightarrow\ z_{0}}\bruch{1}{e^{z}-1} [/mm] = [mm] "\bruch{1}{0}".
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 So 24.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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