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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Di 29.05.2012 | | Autor: | mathe456 |
Hallo,
ich bräuchte bei folgender Aufagbe Hilfe:
| Aufgabe | Es sei [mm] $U\subset\IC$ [/mm] offen, [mm] $z_{0} \in [/mm] U$ und [mm] $f\in H(U\setminus\{ z_{0} \})$.
[/mm]
Zeigen Sie:
(a) Die Abbildung [mm] $\exp \circ [/mm] f$ kann in [mm] $z_{0}$ [/mm] keinen Pol haben.
(b) Die Singularität von $f$ in [mm] $z_{0}$ [/mm] ist hebbar, falls [mm] $\mathrm{Re} [/mm] f$ in einer Umgebung von [mm] $z_{0}$ [/mm] nach oben oder unten beschränkt ist. |
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Mi 30.05.2012 | | Autor: | fred97 |
Zu a). Nimm mal an, [mm] $e^{f(z)}$ [/mm] hätte in [mm] z_0 [/mm] einen Pol der Ordnung m [mm] \ge [/mm] 1.
Dann gibt es eine Umgebung V [mm] \subset [/mm] U von [mm] z_0 [/mm] und eine auf V holomorphe Funktion g mit:
[mm] e^{f(z)}= \bruch{g(z)}{(z-z_0)^m} [/mm] für z [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{ z_0 \} [/mm] und [mm] g(z_0) \ne [/mm] 0.
Kann das sein ?
Zu b) Sei Re(f) nach oben beschränkt, es gibt also ein c [mm] \in \IR [/mm] mit
Re(f(z)) [mm] \le [/mm] c für alle z [mm] \in [/mm] U.
Wir nehmen an, dass f in [mm] z_0 [/mm] eine wesentliche Sing. besitze. Nach Casorati- Weierstraß gibt es eine Folgw [mm] (z_n) [/mm] in U [mm] \setminus \{ z_{0} \} [/mm] mit:
[mm] f(z_n) \to [/mm] c+1.
Kann das sein ?
Jetzt versuche Du mal zu zeigen: f hat in [mm] z_0 [/mm] keinen Pol.
FRED
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