Sinus und Cosinus < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Andre85 |
| Aufgabe | Ermittle Amplitude, Frequenz und Phase:
(a) [mm] \sin(t)+\cos(t)
[/mm]
(b) [mm] \sin(2t)-\cos(2t)
[/mm]
(c) [mm] \wurzel(3)\cdot\sin(t)-\cos(t) [/mm] |
Moinsen Zusammen,
Erstmal, kann vielelicht ein Moderator diese Frage ins richtige Thema verschieben? Ich weiß nicht genau, welche Überschrift ich wählen muss. Danke.
Es geht um (a). Die Aufgabe wurde vom Dozenten vorgerechnet, aber ich versteh sie (die Aufgabe und den Dozenten) nicht.
Mein Wissen:
A = Amplitude, [mm] \omega [/mm] = Frequenz und [mm] \phi [/mm] = (anfangs) Phase.
[mm] A\cdot\cos(\omega\cdot t+\phi)
[/mm]
Ausserdem denke ich, dass ich das auch durch Ableiten erreichen kann. Allerdings sieht die Erklärung des Dozenten so aus:
[mm] A\cdot\cos(\omega\cdot t+\phi)=c\sin(t)+d\cos(t)
[/mm]
da c,d [mm] \to \bruch{c}{\wurzel{c^2 + d^2}} [/mm] , [mm] \bruch{d}{\wurzel{c^2 + d^2}} [/mm]
wird aus der rechten Seite:
[mm] A(-\sin(\alpha)\cdot\sin(t)+\cos(\alpha)\cdot\cos(t))
[/mm]
und da [mm] \cos (a+b)=\cos(a)\cdot\cos(b)-\sin(a)\cdot\sin(b)
[/mm]
und natürlich [mm] \bruch {1}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}\cdot\wurzel{2}}=\bruch{1}{2}\cdot\wurzel{2}
[/mm]
wirds zu:
[mm] \wurzel{2}(\bruch {1}{\wurzel{2}}\sin(t)+(\bruch {1}{\wurzel{2}}\cos(t))
[/mm]
Das müsste dann das selbe sein wie:
[mm] \wurzel{2}(-\sin(-\bruch{\pi}{4})\cdot\sin(t)+\cos(-\bruch{\pi}{4})\cdot\cos(t))
[/mm]
Und dadraus wird dann:
[mm] \wurzel{2}\cdot\cos(t-\bruch{\pi}{4})
[/mm]
Damit is dann [mm] A=\wurzel{2}, \omega=1 [/mm] und [mm] \phi=-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
Ok, dazu hab ich dann noch das Übliche:
[mm] \cos^2(x)+\sin^2(x)=1
[/mm]
[mm] \cos (a+b)=\cos(a)\cdot\cos(b)-\sin(a)\cdot\sin(b)
[/mm]
[mm] \sin (a+b)=\cos(a)\cdot\sin(b)+\sin(a)\cdot\cos(b)
[/mm]
[mm] \cos(-a)=\cos(a)
[/mm]
[mm] \sin(-a)=\-sin(a)
[/mm]
[mm] 2\cdot\cos(a)\cdot\cos(b)=\cos(a+b)+\cos(a-b)
[/mm]
...
Ich hoffe, ich hab mich nicht vertippt, zumindest hab ich jetzt das Formelsystem hier verstanden :)
Meine Frage:
Was passiert da, wenn aus c,d auf einmal [mm] A\cdot\sin(\alpha) [/mm] und [mm] A\cdot\cos(\alpha) [/mm] wird?
Woher kommt das [mm] \wurzel{2} [/mm] ? und woher das [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] ?
Sind das Standart-Werte, die man wissen muss?
Mitten auf dem Tafelbild taucht auch der Einheitskreis auf.. allerdings hab ich die Stelle irgendwie verpasst, ich weiß nicht was der da macht., also ob der wichtig is und dazu gehört.. (bei sin und cos und pi wahrscheinlich schon) ^^
Für (b), bleibt da A gleich, [mm] \omega=2 [/mm] und [mm] \phi [/mm] = [mm] +\bruch{pi}{4}?
[/mm]
Ist nur eine Vermutung meinerseits. Ich hab keine Ahnung, wie ich das Schema auf (b) anwenden soll...
Vielen Dank fürs zuhöre lesen, ich begebe mich wieder zurück ins Internet und schau mir den Einheitskreis genauer an, der war mir noch nicht so richtig aufgefallen.
Falls mir das jemand Erklären kann oder nen Tipp geben kann, wär ich Überglücklich! :) (Das ist eine Übungsaufgabe vor der ersten Stunde dieses Fachs... :S )
Schönes Wochenende noch
Andre
|
|
| |
|
Hallo Andre85,
> Ermittle Amplitude, Frequenz und Phase:
> (a) [mm]\sin(t)+\cos(t)[/mm]
> (b) [mm]\sin(2t)-\cos(2t)[/mm]
> (c) [mm]\wurzel(3)\cdot\sin(t)-\cos(t)[/mm]
> Moinsen Zusammen,
>
> Erstmal, kann vielelicht ein Moderator diese Frage ins
> richtige Thema verschieben? Ich weiß nicht genau, welche
> Überschrift ich wählen muss. Danke.
Ich habe diese Diskussion ins richtige Thema verschoben:
Mathe->Schule -> Oberstufe (Klassen 11-13) -> Analysis -> Trigonometrische Funktionen
>
> Es geht um (a). Die Aufgabe wurde vom Dozenten
> vorgerechnet, aber ich versteh sie (die Aufgabe und den
> Dozenten) nicht.
>
> Mein Wissen:
> A = Amplitude, [mm]\omega[/mm] = Frequenz und [mm]\phi[/mm] = (anfangs)
> Phase.
>
> [mm]A\cdot\cos(\omega\cdot t+\phi)[/mm]
>
>
> Ausserdem denke ich, dass ich das auch durch Ableiten
> erreichen kann. Allerdings sieht die Erklärung des
> Dozenten so aus:
>
> [mm]A\cdot\cos(\omega\cdot t+\phi)=c\sin(t)+d\cos(t)[/mm]
>
> da c,d [mm]\to \bruch{c}{\wurzel{c^2 + d^2}}[/mm] ,
> [mm]\bruch{d}{\wurzel{c^2 + d^2}}[/mm]
>
> wird aus der rechten Seite:
>
> [mm]A(-\sin(\alpha)\cdot\sin(t)+\cos(\alpha)\cdot\cos(t))[/mm]
>
> und da [mm]\cos (a+b)=\cos(a)\cdot\cos(b)-\sin(a)\cdot\sin(b)[/mm]
>
> und natürlich [mm]\bruch {1}{\wurzel{2}}=\bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{2}\cdot\wurzel{2}}=\bruch{1}{2}\cdot\wurzel{2}[/mm]
>
> wirds zu:
>
> [mm]\wurzel{2}(\bruch {1}{\wurzel{2}}\sin(t)+(\bruch {1}{\wurzel{2}}\cos(t))[/mm]
>
> Das müsste dann das selbe sein wie:
>
> [mm]\wurzel{2}(-\sin(-\bruch{\pi}{4})\cdot\sin(t)+\cos(-\bruch{\pi}{4})\cdot\cos(t))[/mm]
>
> Und dadraus wird dann:
>
> [mm]\wurzel{2}\cdot\cos(t-\bruch{\pi}{4})[/mm]
>
> Damit is dann [mm]A=\wurzel{2}, \omega=1[/mm] und
> [mm]\phi=-\bruch{\pi}{4}[/mm]
>
>
>
> Ok, dazu hab ich dann noch das Übliche:
>
> [mm]\cos^2(x)+\sin^2(x)=1[/mm]
>
> [mm]\cos (a+b)=\cos(a)\cdot\cos(b)-\sin(a)\cdot\sin(b)[/mm]
> [mm]\sin (a+b)=\cos(a)\cdot\sin(b)+\sin(a)\cdot\cos(b)[/mm]
>
> [mm]\cos(-a)=\cos(a)[/mm]
> [mm]\sin(-a)=\-sin(a)[/mm]
>
> [mm]2\cdot\cos(a)\cdot\cos(b)=\cos(a+b)+\cos(a-b)[/mm]
> ...
>
> Ich hoffe, ich hab mich nicht vertippt, zumindest hab ich
> jetzt das Formelsystem hier verstanden :)
>
> Meine Frage:
>
> Was passiert da, wenn aus c,d auf einmal [mm]A\cdot\sin(\alpha)[/mm]
> und [mm]A\cdot\cos(\alpha)[/mm] wird?
> Woher kommt das [mm]\wurzel{2}[/mm] ? und woher das [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm]
> ?
Nun, mit Deinem Ansatz erhältst Du:
[mm]A*\cos\left(\phi\right)=1[/mm]
[mm]-A*\sin\left(\phi\right)=1[/mm]
Durch Division erhält man [mm]-\tan\left(\phi\right)=1[/mm]
Hieraus folgt dann: [mm]\phi=\arctan\left(-1\right)=-\arctan\left(1\right)=-\bruch{\pi}{4}[/mm]
Durch Quadrieren und anschliessendes Addieren dieser Gleichungen
erhält man
[mm]\left(A*\cos\left(\phi\right)\right)^{2}+\left(-A*\sin\left(\phi\right)\right)^{2}=1+1=2[/mm]
Daraus ergibt sich [mm]A^{2}=2[/mm], woraus [mm]A=\wurzel{2}[/mm] folgt.
>
> Sind das Standart-Werte, die man wissen muss?
>
> Mitten auf dem Tafelbild taucht auch der Einheitskreis
> auf.. allerdings hab ich die Stelle irgendwie verpasst, ich
> weiß nicht was der da macht., also ob der wichtig is und
> dazu gehört.. (bei sin und cos und pi wahrscheinlich
> schon) ^^
>
> Für (b), bleibt da A gleich, [mm]\omega=2[/mm] und [mm]\phi[/mm] =
> [mm]+\bruch{pi}{4}?[/mm]
> Ist nur eine Vermutung meinerseits. Ich hab keine Ahnung,
> wie ich das Schema auf (b) anwenden soll...
Das ist eine Vermutung, die nicht stimmt.
Wie Du das anwendest siehe oben.
>
> Vielen Dank fürs zuhöre lesen, ich begebe mich wieder
> zurück ins Internet und schau mir den Einheitskreis
> genauer an, der war mir noch nicht so richtig aufgefallen.
>
> Falls mir das jemand Erklären kann oder nen Tipp geben
> kann, wär ich Überglücklich! :) (Das ist eine
> Übungsaufgabe vor der ersten Stunde dieses Fachs... :S )
>
> Schönes Wochenende noch
> Andre
Gruss
MathePower
|
|
|
|
