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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:46 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Marty |
| Aufgabe | Es seien [mm] I_n:=n^2\integral_{0}^{1}{(1-t)^n sin(\pi t) dt} [/mm] und
[mm] f_n(x)=\begin{cases} n(1-\bruch{x}{n})^n sin(\bruch{\pi x}{n}), & \mbox{für } x\in \mbox{ (0,n)} \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm] .
a) Zeigen Sie, dass gilt [mm] (1-\bruch{t}{n})^n 1_{(0,n)}(t) \le e^{-t} [/mm] und
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{t}{n})^n 1_{(0,n)}(t) [/mm] = [mm] e^{-t} [/mm] , für alle [mm] t\in(0,\infty) [/mm] .
b) Finden Sie [mm] f\in L^1 (\IR^+), [/mm] sodass [mm] |f_n(x)| \le [/mm] f(x) fast überall.
c) Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}I_n [/mm] |
Hallo!
Mit großer Mühe und Not habe ich zur a) folgendes gerechnet:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{t}{n})^n [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] exp(n [mm] ln(1-\bruch{t}{n})) [/mm] =
(mit [mm] z=\bruch{1}{n})
[/mm]
[mm] =\limes_{z\rightarrow 0}exp(\bruch{1}{z}ln(1-tz) [/mm] =
(wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion,
darf ich lim und exp vertauschen)
[mm] =exp(\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{1}{z}ln(1-tz))=
[/mm]
[mm] =exp(\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{ln(1-tz)}{z}) [/mm] =
(L'hospital:)
[mm] =exp(\limes_{z\rightarrow 0}\bruch{\bruch{-t}{1-tz}}{1})
[/mm]
=exp(-t) = [mm] e^{-t}
[/mm]
Ist das bisher richtig?
Ich habe jetzt nur ein kleines Verständnisproblem: Was bedeutet [mm] 1_{(0,n)}(t) [/mm] ? (Es soll so eine 1 mit Strich daneben sein, wie bei der Einheitsmatrix) Ich habe das in meiner Rechnung einfach ignoriert...
Beim 1. Teil der a) komme ich nicht weiter:
[mm] (1-\bruch{t}{n})^n [/mm] = exp(n [mm] ln(1-\bruch{t}{n})) [/mm] = exp(n ln [mm] t(\bruch{1}{t}- \bruch{1}{n}) [/mm] =
= exp(n ( ln t + [mm] ln(\bruch{1}{t} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}) [/mm] ) ...? Hilfe!
bei der b) habe ich als Majorante folgendes gewählt:
[mm] n(1-\bruch{x}{n})^n sin(\bruch{\pi x}{n}) \le n(1-\bruch{x}{n})^n [/mm] ,
da x laut Definition [mm] \ge [/mm] 0 ist.
bei der c) bräuchte ich wieder hilfe:
Da der Limes vom Sinus nicht definiert ist, kann ich hier keinen Grenzwert bilden!? Oder kennt jemand einen tollen Trick für so etwas?Oder sollte ich in diesem Fall zuerst versuchen das Integral zu lösen bevor ich mich um den Grenzwert kümmere? (Ich hatte eigentlich vor den Satz der monotonen Konvergenz zu verwenden...)
Gruß
Marty
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:55 So 16.12.2007 | | Autor: | Marty |
Ich habe versucht zur a) noch ein wenig weiterzurechnen:
[mm] (1-\bruch{t}{n})^n [/mm] = exp(n [mm] ln(1-\bruch{t}{n})) [/mm] = exp(n ln [mm] -t(\bruch{1}{n}- \bruch{1}{t}) [/mm] =
= exp(n ln (-t) + n [mm] ln(\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] ) = exp(n ln(-t))exp(n [mm] ln(\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{t})
[/mm]
Kann ich hier vielleicht irgendwie zeigen, dass exp(n [mm] ln(\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] < 1 ist und damit:
exp(n ln(-t))exp(n [mm] ln(\bruch{1}{n} [/mm] - [mm] \bruch{1}{t}) [/mm] ) [mm] \le [/mm] exp(n ln(-t)) = [mm] (-t)^n [/mm] selbst dann komme ich aber nicht auf [mm] e^{-t}
[/mm]
Hat jemand noch eine bessere Idee?
Gruß
Marty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Di 18.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 So 16.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
[mm] 1_{(0,n)}(t) [/mm] ist die Indikatorfunktion, d.h. [mm] 1_{(0,n)}(t)=\begin{cases} 1, & t\in (0,n) \\ 0, sonst \end{cases}
[/mm]
Wenn also t nicht in dem Interval ist, wird einfach alles auf 0 gesetzt.
Für a würde ich mit der Ableitung nach n rechnen :
[mm] ((1-\bruch{t}{n})^n)'=n*(1-\bruch{t}{n})^{n-1}*(\bruch{t}{n^2})\ge [/mm] 0 da [mm] t\le [/mm] n
[mm] \Rightarrow (1-\bruch{t}{n})^n\le e^{-t} [/mm] für [mm] n\in [t;\infty] [/mm] bzw. [mm] t\in [/mm] [0;n]
bei b) fehlt die Indikatorfunktion, da deine Majorante sonst nicht in [mm] L^1 [/mm] liegt. (mit Majorante [mm] M(t)=n*1_{(0,n)}(t) [/mm] fällt das leichter zu zeigen)
Für c) soll man, glaube ich, Teil b) mitbenutzen. Mit der richtigen Majorante könnte dort etwas ergeben.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Di 18.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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