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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Mo 31.12.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | es sei [mm] A\inM(n \times [/mm] n, [mm] \IK) [/mm] eine Matrix mit der Eigenschaft, dass für alle [mm] B\inM(n \times [/mm] n, [mm] \IK) [/mm] gilt
[mm] AB-BA=0\inM(n \times [/mm] n, [mm] \IK).
[/mm]
Zeigen Sie: Es gibt ein [mm] \lambda\in\IR [/mm] mir [mm] A=\lambda*E_n [/mm] |
Hi
Hab keinen blassen Schimmer, wie ich an die Aufgabe rangehen soll....jemand nen tipp für mich?
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Hallo!
Eigentlich ist das ganz einfach. Du kannst dieses A in die Gleichung einsetzen. Das [mm] \lambda [/mm] kannst du komplett ausklammern. Und dann gilt immer EB=B=BE. Damit ist [mm] \lambda [/mm] sogar beliebig!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:51 Mo 31.12.2007 | | Autor: | side |
Ich kann also einfach sagen:
AB-BA=0
[mm] \gdw \lambda*E*B-B*\lambda*E=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda*(E*B-B*E)=0
[/mm]
[mm] \gdw \lambda*(B-B) [/mm] =0
[mm] \gdw \lambda*0 [/mm] =0
[mm] \Rightarrow \lambda [/mm] ist beliebig
Reicht das?
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> Ich kann also einfach sagen:
Hallo,
nein, so geht das nicht.
Was Du recht umständlich versucht hast zu zeigen, ist folgendes:
wenn A die Gestalt [mm] A=\lambda [/mm] E hat, dann ist für alle Matrizen B AB-BA=0.
Diese Aussage ist nun sooooo berauschend nicht...
Zeigen würde man sie so:
Sei [mm] A=\lambda [/mm] E und sei B eine Matrix.
Es ist [mm] AB-BA=(\lambda [/mm] E)B - [mm] B(\lambda E)=\lambda [/mm] B- [mm] \lambda [/mm] B=0.
Zeigen sollst Du aber die andere Richtung:
wenn AB-BA=0 für alle B, dann hat A zwangsläufig die Gestalt [mm] A=\lambda [/mm] E.
(Existieren tut so ein [mm] \lambda, [/mm] weil A Eintrage aus K hat, also die 1 enthält.)
Zeigen könntest Du das so:
wenn es für alle Matrizen B gilt, dann gilt es auch für die Matrizen [mm] B_i_k, [/mm] welche an der Stelle ik den Eintrag 1 hat und sonst nur Nullen.
Hieraus kannst Du dann die nötigen Schlüsse ziehen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Di 01.01.2008 | | Autor: | side |
Ich soll also im Prinzip zeigen, dass die Aussage
AB-BA=0 nur gelten kann, wenn A ein "Vielfaches" der Einheitsmatrik ist, also nur auf der Diagonalen von 0 verschiedene Einträge hat, oder?
Aber was ich dann mit deinem Tip bezüglich des [mm] B_{ik} [/mm] anfangen soll, weiss ich noch nicht so richtig...
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> Ich soll also im Prinzip zeigen, dass die Aussage
> AB-BA=0 nur gelten kann, wenn A ein "Vielfaches" der
> Einheitsmatrik ist, also nur auf der Diagonalen von 0
> verschiedene Einträge hat, oder?
Hallo,
ja.
> Aber was ich dann mit deinem Tip bezüglich des [mm]B_{ik}[/mm]
> anfangen soll, weiss ich noch nicht so richtig...
Laß uns mal die 3x3-Matrizen anschauen.
Sei [mm] A:=\pmat{a & b&c \\ d & e&f \\ g & h&i }.
[/mm]
Was ich mit den [mm] B_i_k [/mm] meine, ist dies:
Wenn A die geforderte Eigenschaft "AB=BA für alle B" hat, so gilt dies auch für [mm] B_1_1:=\pmat{1 & 0&0\\ d & 0&0 \\ 0 & 0&0 }, B_1_2:=\pmat{0 & 1&0\\ d & 0&0 \\ 0 & 0&0 } [/mm] usw.
Hieraus erhältst Du Informationen darüber, wie die a,b,...,i aussehen können.
Gruß v. Angela
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