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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Skalare lineare DGL
Skalare lineare DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Skalare lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:42 Sa 12.12.2009
Autor: cracker

Aufgabe
Skalare lineare Differentialgleichungen
Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der Differentialgleichung
t^2x'' + 5tx' + 13x = t ,
t > 0 .

Hallo,

ich weiß hier nicht so recht wie ich da anfangen soll. Theoretisch muss ich ja die funktion von x irgendwie sustituieren, dann das ableiten und einsetzten, oder?
Sagen wir ich habe die funktion x(t)  dann definiere ich t= [mm] e^y [/mm] zum beispiel das ableiten und einsetzten..
aber was mache ich mit dem inhomogenen teil t auf der rechten seite?
danke!

        
Bezug
Skalare lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Sa 12.12.2009
Autor: MathePower

Hallo cracker,

> Skalare lineare Differentialgleichungen
>  Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der
> Differentialgleichung
>  t^2x'' + 5tx' + 13x = t ,
> t > 0 .
>  Hallo,
>  
> ich weiß hier nicht so recht wie ich da anfangen soll.
> Theoretisch muss ich ja die funktion von x irgendwie
> sustituieren, dann das ableiten und einsetzten, oder?


Löse hier zunächst die homogene DGL:

[mm]t^2x'' + 5tx' + 13x = 0[/mm]

Setze dazu mit

[mm]x\left(t\right)=t^{r}[/mm]

an.


>  Sagen wir ich habe die funktion x(t)  dann definiere ich
> t= [mm]e^y[/mm] zum beispiel das ableiten und einsetzten..
>  aber was mache ich mit dem inhomogenen teil t auf der
> rechten seite?
>  danke!


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Skalare lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:42 Sa 12.12.2009
Autor: cracker

Habe jetzt die homoene lösung:

x(t) = A * [mm] t^{-2} [/mm] * cos (3*lnt) + B * [mm] t^{-2} [/mm] * sin(3*lnt)

was mache ich jetzt mit der inhomogenen?


Bezug
                        
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Skalare lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 Sa 12.12.2009
Autor: MathePower

Hallo cracker,

> Habe jetzt die homoene lösung:
>  
> x(t) = A * [mm]t^{-2}[/mm] * cos (3*lnt) + B * [mm]t^{-2}[/mm] * sin(3*lnt)
>  
> was mache ich jetzt mit der inhomogenen?
>  


Nun, Du kannst jetzt den Ansatz gemäß der Störfunktion machen,
um die partikuläre Lösung zu bestimmen.

Alternative, ist die Variation der Konstanten,
was hier zu mehr Rechenaufwand führt.


Gruss
MathePower

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Skalare lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:34 Sa 12.12.2009
Autor: cracker

ist der ansatz gemäß der störfunktion das selbe wir der ansatz vom typ der rechten seite?

Bezug
                                        
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Skalare lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:47 Sa 12.12.2009
Autor: cracker

ich versuche es jetzt mal mit der variation der konstanten, aber wie leite ich nochmal A(t)*t{-2}*cos(3lnt) ab?

Bezug
                                                
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Skalare lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Sa 12.12.2009
Autor: MathePower

Hallo cracker,

> ich versuche es jetzt mal mit der variation der konstanten,
> aber wie leite ich nochmal A(t)*t{-2}*cos(3lnt) ab?


Hier wendest Du zunächst die Produktregel an.

Für den zweiten Ausdruck benötigst Du die Potenzregel.

Schliesslich wird für den letzten Ausdruck die Kettenregel benötigt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                        
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Skalare lineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:06 Sa 12.12.2009
Autor: cracker

Ah, hatte die produktregel für 3 terme nicht gekannt un jetzt gefunden, danke!

Bezug
                                                                
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Skalare lineare DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:25 Sa 12.12.2009
Autor: cracker

puh, also mit variation der konstanten ist es echt aufwendig...wie mach ich das mit dem ansatz der rechten seite?
da muss ich doch das charakteristische polynom von w= s + ir berechnen

bei einer rechten seite: [mm] p_m(x) [/mm] * e^sx * cos(rx) + [mm] p_m(x)* [/mm] e^sx* sin(rx)

da wäre s=0, r=3 aber was mache ich mit dem lnt? da steht ja normalerweise im cos und sin nur zahl*x?

Bezug
                                                                        
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Skalare lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:48 Sa 12.12.2009
Autor: MathePower

Hallo cracker,

> puh, also mit variation der konstanten ist es echt
> aufwendig...wie mach ich das mit dem ansatz der rechten
> seite?


In Bezug auf diese DGL setzt Du an mit:

[mm]x_{p}\left(t\right)=A*t+B, \ A,B \in \IR[/mm]


> da muss ich doch das charakteristische polynom von w= s +
> ir berechnen
>  
> bei einer rechten seite: [mm]p_m(x)[/mm] * e^sx * cos(rx) + [mm]p_m(x)*[/mm]
> e^sx* sin(rx)
>  
> da wäre s=0, r=3 aber was mache ich mit dem lnt? da steht
> ja normalerweise im cos und sin nur zahl*x?


Gruss
MathePower

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Skalare lineare DGL: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 10:50 So 13.12.2009
Autor: cracker

Ich dachte man kann da nur bestimmte ansätze verwenden, aber habe es jetzt mal damit versucht:

[mm] x_p(t) [/mm] = At+B  
[mm] x_p'(t) [/mm] = A
[mm] x_p''(t) [/mm] = 0

damit komme ich eingesetzt in DGL auf:

18 At + 13B = 0

und was mache ich jetzt? was passiert mit meiner substitution [mm] x(t)=t^r [/mm] ? die brauche ich dann nicht?

Bezug
                                                                                        
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Skalare lineare DGL: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:25 So 13.12.2009
Autor: cracker

muss ich hier evtl diesen ansatz mit der [mm] t^r [/mm] gleichung gleichsetzten oder so?

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Skalare lineare DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:32 So 13.12.2009
Autor: cracker

Oh, ich war vor lauter überlegen völlig blind:)..
einfach einsetzten und  koeffizientenvergleich

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Skalare lineare DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:48 Sa 12.12.2009
Autor: MathePower

Hallo cracker,

> ist der ansatz gemäß der störfunktion das selbe wir der
> ansatz vom typ der rechten seite?


Das ist richtig.


Gruss
MathePower

Bezug
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