Skalarprod. von f(t) und f'(t) < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Hallo!
Ich brauche dringend Hilfe. Und zwar muss ich folgende Aufgabe lösen:
Sei [m] I\subseteq \IR[/m] offen und[m] f: I \to\IR ^{n}[/m] differenzierbar so, dass für alle [m]t \in I[/m] gilt: [m] \parallel f(t) \parallel_2=1[/m]. Man zeige, dass dann f.a. [m]t \in I[/m] die Beziehung [m] \left\langle f'(t),f(t) \right\rangle=0[/m] gilt. Interpretieren sie dieses Ergebnis geometrisch im Falle n=2,3.
Mir wurde gesagt, ich solle am besten [m] \parallel f(x) \parallel_2 [/m] ableiten, was ja auch Sinn gibt, da dann als Konstante Funktion 0 rauskommen würde (richtig?).
Ich habe aber keine Ahnung, wie ich von dort auf das Skalarprodukt der Ableitung mit der Funktion kommen soll. Es muss irgendetwas damit zu tun haben, dass für einen Vektor x [m]\left\langle x,x \right\rangle=\parallel x \parallel_2^{2}[/m] gilt, aber so ganz steige ich da noch nicht durch.
Für einen schnellen Tipp wäre ich dankbar,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Do 05.05.2005 | | Autor: | moudi |
> Hallo!
Hallo Sanshine
> Ich brauche dringend Hilfe. Und zwar muss ich folgende
> Aufgabe lösen:
> Sei [m]I\subseteq \IR[/m] offen und[m] f: I \to\IR ^{n}[/m]
> differenzierbar so, dass für alle [m]t \in I[/m] gilt: [m]\parallel f(t) \parallel_2=1[/m].
> Man zeige, dass dann f.a. [m]t \in I[/m] die Beziehung
> [m]\left\langle f'(t),f(t) \right\rangle=0[/m] gilt.
> Interpretieren sie dieses Ergebnis geometrisch im Falle
> n=2,3.
>
> Mir wurde gesagt, ich solle am besten [m]\parallel f(x) \parallel_2[/m]
> ableiten, was ja auch Sinn gibt, da dann als Konstante
> Funktion 0 rauskommen würde (richtig?).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich habe aber keine Ahnung, wie ich von dort auf das
> Skalarprodukt der Ableitung mit der Funktion kommen soll.
> Es muss irgendetwas damit zu tun haben, dass für einen
> Vektor x [m]\left\langle x,x \right\rangle=\parallel x \parallel_2^{2}[/m]
> gilt, aber so ganz steige ich da noch nicht durch.
> Für einen schnellen Tipp wäre ich dankbar,
Im Prinzip steht schon alles da, was du tun musst. Du musst es nur noch ausführen.
Wenn [mm] $f:\IR\to \IR^n$, [/mm] dann ist f eine vektorwertige Funktion, d.h. [mm] $f=(f_1(x),\dots,f_n(x))$
[/mm]
und man weiss, dass [mm] $\forall x\in [/mm] I\ [mm] {f_1(x)}^2+\dots+{f_n(x)}^2=1$. [/mm] Jetzt leitet man diese Identität ab und man kann beim Resultat die linke Seite als Skalarprodukt der Vektoren [mm] $(f_1,\dots,f_n)$ [/mm] und [mm] $(f_1',\dots,f_n')$ [/mm] interpretieren.
mfG Moudi
> San
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
Vielen Dank, bin damit schon einen Schritt weiter. Ich weiß, ich lege gerade meine ganze Unwissenheit offen, aber wenn ich [m] (f_1(x))^{2} [/m] ableite..., muss ich dann nicht die Kettenregel anwenden? Und wie sähe das aus? [m] 2*f_1(x)*(f_1'(x))[/m]???
Peinlich, peinlich, sollte vielleicht mal wieder alten Kram wiederholen.
Ist das richtig?
Hoffe, die Frage ist nicht zu dumm/ die eigene Antwort zu falsch
San
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sanshine!
Es ist genauso wie du sagst. 
Aus
[mm] $f_1^2(x) [/mm] + [mm] f_2^2(x) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f_n^2(x)=1$
[/mm]
folgt durch Ableiten:
$0 = 2 [mm] \cdot (f_1(x) \cdot f_1'(x) [/mm] + [mm] f_2(x) \cdot f_2'(x) [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] f_n(x) \cdot f_n'(x)) [/mm] = 2 [mm] \cdot \langle [/mm] f(x),f'(x) [mm] \rangle$,
[/mm]
also:
[mm] $\langle [/mm] f(x).f'(x) [mm] \rangle [/mm] =0$.
Die Interpretation ist auch klar: Die Tangentialvektoren an einem Punkt der Einheitssphäre stehen senkrecht auf dem Ortsvektor des Punktes.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Do 05.05.2005 | | Autor: | Sanshine |
WOW
Vielen Dank. Was für ein erhebendes Gefühl, einmal etwas gewusst zu haben.
Zumindest teilweise, mit viel Hilfe ;)
Schönen Restfeiertag,
San
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