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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:04 So 05.04.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Gibt a,b,c,d, so dass
[mm] s(x)=\begin{cases} (x+1)^3, & \mbox{falls } -2 \le x\le -1 \mbox{ } \\ ax^3+bx^2+cx+d, & \mbox{falls } -1\le x\le 1 \mbox{ }\\(x-1)^2 &\mbox{falls} 1 \le x\le 2 \end{cases} [/mm] |
Hallo,
für den Spline gelten folgende Bedingungen
(1) [mm] s_j(x_j)=y_j
[/mm]
(2) [mm] s_j(x_{j-1})=y_{j-1}
[/mm]
(3) [mm] s'_j(x_j)=s'_{j+1}(x_j)
[/mm]
(4) [mm] s''_j(x_j)=s''_{j+1}(x_j)
[/mm]
und das Spline besitzt folgende Form [mm] s_j(x)=a_j(x-x_j)^3+b_j(x-x_j)^2+c_j(x-x_j)+d_j
[/mm]
[mm] \Rightarrow s_0(x)=(x+1)^3, s'_0(x)=3(x+1)^2, [/mm] s''_0(x)=6(x+1)
[mm] s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] , [mm] s'_1(x)=3ax^2+2bx+c, [/mm] s''_1(x)=6ax+2b
[mm] s_2(x)=(x-1)^2, [/mm] s'_2(x)=2(x-1), s''_2(x)=2
und das heißt für [mm] s_0: a_0=1, b_0=c_0=d_0=0
[/mm]
[mm] s_2: a_2=c_2=d_2=0, b_2=1
[/mm]
(1) [mm] s_1(-1)=0 \Rightarrow [/mm] -a+b-c+d=0
(2) [mm] s'_1(0)=s'_2(0)\Rightarrow [/mm] c=-2
(3) s''_1(0)=s''_2(0) [mm] \Rightarrow 2b=-2\rightarrow [/mm] b=-1
(4) s'_0(-1)=s'_1(-1) [mm] \Rightarrow [/mm] 0=3a-2b+c
(5) s''_0(-1)=s''_1(-1) [mm] \Rightarrow [/mm] 0=-6a+2b
ich erhalte aber 2 verschiedene "a":
wenn ich b=-1 in (5) einsetze erhalt man: 0=-6a+2b [mm] \rightarrow -2=6a\rightarrow a=-\bruch{1}{3}
[/mm]
und wenn ich b=-1 und c=-2 in (4) einsetzte erhalte ich a=0
bin ich auf dem richtigen weg?
Ich bin für jede Hilfe dankbar.
gruß,
knowhow
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> Gibt a,b,c,d, so dass
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> [mm]s(x)=\begin{cases} (x+1)^3, & \mbox{falls } -2 \le x\le -1 \mbox{ } \\ ax^3+bx^2+cx+d, & \mbox{falls } -1\le x\le 1 \mbox{ }\\(x-1)^2 &\mbox{falls} 1 \le x\le 2 \end{cases}[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Soll das eine Frage sein ? Dann würde es auf Deutsch heißen:
"Gibt es ...... , so dass ....... ?"
> Hallo,
>
> für den Spline gelten folgende Bedingungen
> (1) [mm]s_j(x_j)=y_j[/mm]
> (2) [mm]s_j(x_{j-1})=y_{j-1}[/mm]
> (3) [mm]s'_j(x_j)=s'_{j+1}(x_j)[/mm]
> (4) [mm]s''_j(x_j)=s''_{j+1}(x_j)[/mm]
>
> und das Spline besitzt folgende Form
> [mm]s_j(x)=a_j(x-x_j)^3+b_j(x-x_j)^2+c_j(x-x_j)+d_j[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow s_0(x)=(x+1)^3, s'_0(x)=3(x+1)^2,[/mm]
> s''_0(x)=6(x+1)
> [mm]s_1(x)=ax^3+bx^2+cx+d[/mm] , [mm]s'_1(x)=3ax^2+2bx+c,[/mm]
> s''_1(x)=6ax+2b
> [mm]s_2(x)=(x-1)^2,[/mm] s'_2(x)=2(x-1), s''_2(x)=2
>
> und das heißt für [mm]s_0: a_0=1, b_0=c_0=d_0=0[/mm]
> [mm]s_2: a_2=c_2=d_2=0, b_2=1[/mm]
>
>
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> (1) [mm]s_1(-1)=0 \Rightarrow[/mm] -a+b-c+d=0
> (2) [mm]s'_1(0)=s'_2(0)\Rightarrow[/mm] c=-2
> (3) s''_1(0)=s''_2(0) [mm]\Rightarrow 2b=-2\rightarrow[/mm] b=-1
> (4) s'_0(-1)=s'_1(-1) [mm]\Rightarrow[/mm] 0=3a-2b+c
> (5) s''_0(-1)=s''_1(-1) [mm]\Rightarrow[/mm] 0=-6a+2b
>
> ich erhalte aber 2 verschiedene "a":
> wenn ich b=-1 in (5) einsetze erhalt man: 0=-6a+2b
> [mm]\rightarrow -2=6a\rightarrow a=-\bruch{1}{3}[/mm]
>
> und wenn ich b=-1 und c=-2 in (4) einsetzte erhalte ich
> a=0
>
> bin ich auf dem richtigen weg?
> Ich bin für jede Hilfe dankbar.
>
> gruß,
> knowhow
Hallo knowhow,
ich denke, dass man diese Aufgabe mit weniger Bezeichnungs-
Klimbim deutlich einfacher formulieren und dann wohl auch lösen
könnte. Wir haben doch im Prinzip folgende Situation:
Die Lücke von x=-1 bis x=+1 ist durch eine kubische Funktion
stetig differenzierbar zu füllen. Die Funktionen für die
Bereiche außerhalb davon liefern die Funktionswerte und die
Ableitungswerte an den "Nahtstellen" -1 und +1 .
Zu bestimmen sind also die 4 Parameter a,b,c,d der "Lücken-
Funktion" aus 4 linearen Bedingungsgleichungen.
Übrigens zeigt schon eine einfache Skizze, dass die
Nullfunktion die Lücke perfekt füllt. Das bedeutet, dass
a=b=c=d=0 Lösung ist.
LG , Al-Chwarizmi
Nachtrag :
Die "Lösung" a=b=c=d=0 ergibt doch keinen wirklich
"stubenreinen" kubischen Spline, weil die zweite Ableitung
s'' dann an der Stelle x = +1 nicht stetig wäre.
siehe auch diese Mitteilung
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Mo 06.04.2015 | | Autor: | knowhow |
Hallo,
Danke für deine antwort, aber wie kommst du auf a=b=c=0? Sind meine bedingugen falsch? Mir ist leider auch nicht klar wie man es anhand eines schaubild erkennen soll. Es wäre toll wenn du es mir erklären könntest.
Gruß,
knowhow
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Hallo,
das erste Problem ist, daß Du die Aufgabenstellung nicht vollständig gepostet hast, wie bereits Al-Chwarizmi anmerkte.
Ich vermute (!) mal, daß sie so ähnlich gedacht war:
| Aufgabe | Gibt [mm] \red{es} \quad [/mm] a,b,c,d, so dass
[mm] s(x)=\begin{cases} s_0(x):=(x+1)^3, & \mbox{falls } -2 \le x\le -1 \mbox{ } \\ s_1(x):=ax^3+bx^2+cx+d, & \mbox{falls } -1\le x\le 1 \mbox{ }\\s_2(x):=(x-1)^2 &\mbox{falls} 1 \le x\le 2 \end{cases}
[/mm]
[mm] \red{ein \quad kubischer \quad Spline \quad ist?} [/mm] |
Damit s ein kubischer Spline ist, müssen die Funktionswerte und die ersten und zweiten Ableitungen der kubischen Teilfunktionen [mm] s_0, s_1, s_2 [/mm] an den beiden "Nahtstellen" [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] übereinstimmen.
Es muß also gelten
[mm] s_1(-1)=s_0(-1)
[/mm]
s'_1(-1)=s'_0(-1)
s''_1(-1)=s''_0(-1)
[mm] s_1(1)=s_2(1)
[/mm]
s'_1(1)=s'_2(1)
s''_1(1)=s''_2(1).
Daraus bekommt man ein LGS mit 6 Gleichungen und 4 Variablen,
und man stellt fest, daß es keine Lösung hat.
In Deinem Lösungsversuch machst Du auch etwas, was in diese Richtung geht, aber Du arbeitest (unverständlicherweise) mit den Nahtstellen [mm] x_1=-1 [/mm] und [mm] x_2=0,
[/mm]
außerdem hast Du eine Gleichung vergessen.
(Ob's paßt, sieht man (grob gesagt) daran, daß alles schön glatt ist.)
LG Angela
> Hallo,
> Danke für deine antwort, aber wie kommst du auf a=b=c=0?
> Sind meine bedingugen falsch? Mir ist leider auch nicht
> klar wie man es anhand eines schaubild erkennen soll. Es
> wäre toll wenn du es mir erklären könntest.
>
> Gruß,
> knowhow
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> Hallo,
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> das erste Problem ist, daß Du die Aufgabenstellung nicht
> vollständig gepostet hast, wie bereits Al-Chwarizmi
> anmerkte.
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> Ich vermute (!) mal, daß sie so ähnlich gedacht war:
> Gibt [mm]\red{es} \quad[/mm] a,b,c,d, so dass
>
> [mm]s(x)=\begin{cases} s_0(x):=(x+1)^3, & \mbox{falls } -2 \le x\le -1 \mbox{ } \\ s_1(x):=ax^3+bx^2+cx+d, & \mbox{falls } -1\le x\le 1 \mbox{ }\\s_2(x):=(x-1)^2 &\mbox{falls} 1 \le x\le 2 \end{cases}[/mm]
>
> [mm]\red{ein \quad kubischer \quad Spline \quad ist?}[/mm]
>
>
> Damit s ein kubischer Spline ist, müssen die
> Funktionswerte und die ersten und zweiten Ableitungen der
> kubischen Teilfunktionen [mm]s_0, s_1, s_2[/mm] an den beiden
> "Nahtstellen" [mm]x_1=-1[/mm] und [mm]x_2=1[/mm] übereinstimmen.
>
> Es muß also gelten
>
> [mm]s_1(-1)=s_0(-1)[/mm]
> s'_1(-1)=s'_0(-1)
> s''_1(-1)=s''_0(-1)
>
> [mm]s_1(1)=s_2(1)[/mm]
> s'_1(1)=s'_2(1)
> s''_1(1)=s''_2(1).
>
> Daraus bekommt man ein LGS mit 6 Gleichungen und 4
> Variablen,
> und man stellt fest, daß es keine Lösung hat.
>
> In Deinem Lösungsversuch machst Du auch etwas, was in
> diese Richtung geht, aber Du arbeitest
> (unverständlicherweise) mit den Nahtstellen [mm]x_1=-1[/mm] und
> [mm]x_2=0,[/mm]
> außerdem hast Du eine Gleichung vergessen.
>
> (Ob's paßt, sieht man (grob gesagt) daran, daß alles
> schön glatt ist.)
>
> LG Angela
Danke Angela für deine Antwort.
Ich hatte in meiner Antwort die Bedingung unterschlagen,
dass kubische Splines durchgehend (also auch an den
Nahtstellen zweimal stetig differenzierbar sein müssen.
Auf meine (nur) 4 Gleichungen für a,b,c,d komme ich,
ohne die zweiten Ableitungen einzubeziehen.
> > Hallo,
> > Danke für deine antwort, aber wie kommst du auf a=b=c=0?
> > Sind meine bedingugen falsch? Mir ist leider auch nicht
> > klar wie man es anhand eines schaubild erkennen soll. Es
> > wäre toll wenn du es mir erklären könntest.
> >
> > Gruß,
> > knowhow
An den Stellen x=-1 bzw. x=+1 haben die linke Funktion [mm] (s_0)
[/mm]
bzw. die rechte Funktion [mm] (s_2) [/mm] einen auf der x-Achse liegenden
Terrassenpunkt bzw. Tiefpunkt. Die x-Achse (dargestellt durch die
Nullfunktion mit a=b=c=d=0) ist also Tangente in beiden
Punkten und "füllt" das Intervall [-1 .. +1] und schließt an
den Randstellen stetig und (einmal) stetig differenzierbar an
[mm] s_0 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] an. Allerdings ist die Stetigkeit der zweiten
Ableitung nur an der Stelle -1 erfüllt, an der Stelle +1 aber
nicht. Folglich kann eine der notwendigen Bedingungen für
einen "richtigen" kubischen Spline nicht erfüllt werden.
Die Unlösbarkeit des gesamten Gleichungssystems kann
sich aber auch auf andere Art manifestieren, wenn man die
Gleichungen in anderer Reihenfolge bearbeitet.
LG , Al-Chwarizmi
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