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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:08 Mi 08.12.2010 | | Autor: | gerani |
| Aufgabe | x'=2y+2yz
y'=-x-xz
[mm] z'=-z^3
[/mm]
Zeigen Sie, dass der Ursprung nicht asymptotisch stabil ist. |
Hallo zusammen,
ich weiß eigentlich ungefähr wie es geht: also ich schaue zunächst die Jacobi Matrix im Ursprung an und sehe, dass es nicht hyperbolisch ist. Also kommen wir so nicht weiter.
Dann suche ich eine Lyapunov Funktion:
[mm] L(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2
[/mm]
funktioniert und gibt mir
[mm] L'=-2z^4, [/mm] also [mm] L'\le0 [/mm] -- daher ist der Ursprung stabil.
Folgt auch schon, dass der Ursprung nicht asymptotisch stabil ist? Oder könnte es theoretisch noch eine andere Lyapunov Funktion geben, sodass L'<0?
(Also so wie ich Lyapunovs Stabilitätstheorem verstehe, bin ich eigentlich hier fertig...)
Viele Grüße!
Gerani
PS: Mich würd auch noch interessieren: Wenn ich mal keine Lyapunov Funktion finde, heisst das doch nicht, dass das betrachtete Equilibrium instabil ist, oder? Das wär doch ein Fehlschluss.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo gerani,
> x'=2y+2yz
> y'=-x-xz
> [mm]z'=-z^3[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass der Ursprung nicht asymptotisch stabil
> ist.
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß eigentlich ungefähr wie es geht: also ich schaue
> zunächst die Jacobi Matrix im Ursprung an und sehe, dass
> es nicht hyperbolisch ist. Also kommen wir so nicht weiter.
> Dann suche ich eine Lyapunov Funktion:
>
> [mm]L(x,y,z)=x^2+2y^2+z^2[/mm]
>
> funktioniert und gibt mir
> [mm]L'=-2z^4,[/mm] also [mm]L'\le0[/mm] -- daher ist der Ursprung stabil. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Folgt auch schon, dass der Ursprung nicht asymptotisch
> stabil ist? Oder könnte es theoretisch noch eine andere
> Lyapunov Funktion geben, sodass L'<0?
Wie willst du das denn ausschliessen? Laut dieser Lyaponov Funktion ist der Ursprung nicht asymptotisch stabil das stimmt.
>
> (Also so wie ich Lyapunovs Stabilitätstheorem verstehe,
> bin ich eigentlich hier fertig...)
Könnte man so sehen, ich würde vielleicht noch das LaSall'sche Invarianz Theorem überprüfen
![[]](/images/popup.gif) leider nur auf englisch
>
> Viele Grüße!
>
> Gerani
>
> PS: Mich würd auch noch interessieren: Wenn ich mal keine
> Lyapunov Funktion finde, heisst das doch nicht, dass das
> betrachtete Equilibrium instabil ist, oder? Das wär doch
> ein Fehlschluss.
richtig, du warst dann möglicherweise nur "unfähig" einen geeigneten Lyaponov-Kandidaten zu finden...
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
Gruß Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 27.12.2010 | | Autor: | gerani |
Hallo!
Danke für die Antwort und entschuldigung für die späte Reaktion. Mir ist jetzt immer noch nicht ganz klar:
Reicht [mm] L'(x,y,z)\le0 [/mm] damit das Equilibrium stabil ist UND um asymptotische Stabilität auszuschliessen?
Frohe Weihnachten!
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Hallo gerani,
> Hallo!
> Danke für die Antwort und entschuldigung für die späte
> Reaktion. Mir ist jetzt immer noch nicht ganz klar:
> Reicht [mm]L'(x,y,z)\le0[/mm] damit das Equilibrium stabil ist UND
> um asymptotische Stabilität auszuschliessen?
Nein, das reicht nicht, siehe Ljapunow-Funktion.
>
> Frohe Weihnachten!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:36 Mi 29.12.2010 | | Autor: | gerani |
Hi!
Das hab ich mir gedacht! 
Wie koennte ich denn zeigen, dass es NICHT asymptotisch stabil ist? Mit der Jacobimatrix geht ja nix. Was gibt es fuer andere Moeglichkeiten dafuer?
Danke vielmals!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:25 Mi 29.12.2010 | | Autor: | gerani |
Das sollte eigentlich eine neue Frage sein:
Wie koennte ich denn zeigen, dass es NICHT asymptotisch stabil ist? Mit der Jacobimatrix geht ja nix. Was gibt es fuer andere Moeglichkeiten dafuer?
Danke vielmals!
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Hallo gerani,
> Das sollte eigentlich eine neue Frage sein:
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> Wie koennte ich denn zeigen, dass es NICHT asymptotisch
> stabil ist? Mit der Jacobimatrix geht ja nix. Was gibt es
> fuer andere Moeglichkeiten dafuer?
Nun, um die asymptotische Stabilität zu zeigen, muß die orbitale
Ableitung L'(x,y,z) in einer Umgebung der Ruhelage kleiner 0 sein.
>
> Danke vielmals!
Gruss
MathePower
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:04 Mi 29.12.2010 | | Autor: | gerani |
ja, ich verstehe. Aber nur weil ich keine Liapunovfunktion mit L'<0 finde, heisst es ja nicht dass es keine gibt. Ich hab mir was anderes überlegt um zu zeigen, dass der Ursprung nicht asymptotisch stabil ist, bin mir aber nicht sicher ob die Argumentation ok ist:
Ich schreib mal das Ausgangssystem nochmal hin.
x'=2y(z+1)
y'=-x(z+1)
[mm] z'=-z^3
[/mm]
Wenn ich mir die Projektion auf die x-y Ebene anschaue wird das System zu
x'=2y
y'=-x
daraus folgt y''=-2y und das kann man lösen und bekommt als Lösung:
[mm] y(t)=A\cos(\wurzel{2}t)+B\sin(\wurzel{2}t)
[/mm]
und da das nicht gegen null geht (außer die triviale Lösung natürlich), kann der Ursprung nicht asymptotisch stabil sein.
Was sagt ihr? Kann man das so machen?
Grüße!
Gerani
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:32 Fr 31.12.2010 | | Autor: | gerani |
weiss niemand ob man das so machen kann? Würde mich sehr über Antworten freuen!
Grüße,
Gerani
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:21 Mo 03.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 14:55 Di 04.01.2011 | | Autor: | gerani |
Hallo!
Ich versuch's einfach nochmal ;-D
Ich will ja zeigen, dass der Ursprung nicht asymptotisch stabil ist.
Kann man ein dreidimensionales System so projizieren wie ich es gemacht habe? Also aus
x'=2y(z+1)
y'=-x(z+1)
[mm] z'=-z^3
[/mm]
wird
x'=2y
y'=-x
und daraus kann man die Gleichung y''=-2y bauen und diese kann man lösen uns sieht, dass die Lösungen NICHT gegen null konvergieren.
Klingt eigentlich plausibel, aber ich hätte sehr gerne ein OK von euch!
Viele Grüße und frohes neues Jahr,
gerani
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Sa 08.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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