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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Di 28.04.2015 | | Autor: | riju |
| Aufgabe | Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem
[mm] (L) x'(t)=A(t)x+b(t) [/mm]
wobei [mm] A \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n \times n}), b \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n}) [/mm] und es seien [mm] x_{\*}(t)[/mm] und [mm] x(t) [/mm] Lösungen von (L). Dann ist [mm] y(t) := x(t) - x_{\*}(t) [/mm] eine Lösung von
[mm] (H) y'(t)=A(t)y [/mm]. |
Die "Aufgabenstellung" ist ein Text aus einem Buch. Ich weiß jetzt nicht, warum [mm] y(t) [/mm] eine Lösung von (H) ist.
Kann mir da vllt jemand helfen?
Vielen Dank
riju
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:05 Di 28.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem
> [mm](L) x'(t)=A(t)x+b(t)[/mm]
> wobei [mm]A \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n \times n}), b \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n})[/mm]
> und es seien [mm]x_{\*}(t)[/mm] und [mm]x(t)[/mm] Lösungen von (L). Dann ist
> [mm]y(t) := x(t) - x_{\*}(t)[/mm] eine Lösung von
> [mm](H) y'(t)=A(t)y [/mm].
> Die "Aufgabenstellung" ist ein Text
> aus einem Buch. Ich weiß jetzt nicht, warum [mm]y(t)[/mm] eine
> Lösung von (H) ist.
Das musst Du doch nur nachrechnen !!!!!
[mm] $y'(t)=x'(t)-x'_{\*}(t)=Ax(t)+b(t)-(Ax_{\*}(t)+b(t))=A(t)(x(t)-x_{\*}(t))=A(t)y(t)$
[/mm]
FRED
> Kann mir da vllt jemand helfen?
>
> Vielen Dank
> riju
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:39 Di 28.04.2015 | | Autor: | riju |
> > Gegeben sei das lineare Differentialgleichungssystem
> > [mm](L) x'(t)=A(t)x+b(t)[/mm]
> > wobei [mm]A \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n \times n}), b \in C([t_{0}, \infty), \IR^{n})[/mm]
> > und es seien [mm]x_{\*}(t)[/mm] und [mm]x(t)[/mm] Lösungen von (L). Dann ist
> > [mm]y(t) := x(t) - x_{\*}(t)[/mm] eine Lösung von
> > [mm](H) y'(t)=A(t)y [/mm].
> > Die "Aufgabenstellung" ist ein
> Text
> > aus einem Buch. Ich weiß jetzt nicht, warum [mm]y(t)[/mm] eine
> > Lösung von (H) ist.
>
>
> Das musst Du doch nur nachrechnen !!!!!
>
>
> [mm]y'(t)=x'(t)-x'_{\*}(t)=Ax(t)+b(t)-(Ax_{\*}(t)+b(t))=A(t)(x(t)-x_{\*}(t))=A(t)y(t)[/mm]
>
> FRED
>
> > Kann mir da vllt jemand helfen?
> >
> > Vielen Dank
> > riju
>
Danke. So hatte ich das auch gedacht, hatte aber einen Denkfehler drin.
Dann hab ich noch einen kleine Frage. Ich habe folgenden Text:
Es sei [mm] Y(t) [/mm] ein Fundametalsystem für die Differentialgleichung (H), also ist [mm] y(t)=Y(t)Y^{-1}(t_{0}) y_{0} [/mm] die Lösung von (H) zum Anfangswert [mm] y(t_{0})=y_{0} [/mm].
Da muss ich bestimmt auch nur wieder nachrechnen. Kannst du mir vllt den Anfang geben?
Liebe Grüße
riju
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(Frage) überfällig | | Datum: | 10:47 Di 28.04.2015 | | Autor: | riju |
Also ich habe jetzt:
[mm] y=Y(t)\*c , c \in \IR^{n} [/mm]
Dann setze ich den Anfangswert ein um c zu berechnen. Dann komme ich auf:
[mm] y_{0}=Y(t_{0})\*c => c=Y^{-1}(t_{0})*y_{0} [/mm]
Somit komme ich auf:
[mm] y=Y(t)Y^{-1}(t_{0})y_{0}[/mm]
richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Do 30.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 30.04.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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