Stammfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Di 03.10.2006 | | Autor: | claudia_ |
| Aufgabe | Ermittle eine Stammfunktion
$ [mm] \int \bruch{1+x}{(1-x)^2} [/mm] dx $
$ [mm] \int \bruch{dx}{\wurzel{1+2x}} [/mm] dx $ |
Hallo zusammen,
schon wieder mal zwei Stammfunktionen die meine Grenzen übersteigen... 
$ [mm] \int \bruch{1+x} {(1-x)^2} [/mm] dx $
$ [mm] \int \bruch{dx}{\wurzel{1+2x}} [/mm] dx $
Vielleicht kann mir jemand helfen ?? Wenn möglich bitte mit Einzelschritten nicht nur das Ergebnis, denn ich sollte es ja irgendwann einmal verstehen.
Vielen lieben Dank
ch habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:52 Di 03.10.2006 | | Autor: | jasko |
Also:
[mm] \int\bruch{1 + x}{(1 - x)^2}dx = \int\bruch{x + 1}{(x - 1)^2}dx = \int\bruch{x + 1 + 1 - 1}{(x - 1)^2}dx = \int\bruch{dx}{x - 1} + 2*\int\bruch{dx}{(x - 1)^2} = I_1 + I_2 [/mm]
[mm] I_1 = \int\bruch{dx}{x -1} = ln(x - 1) + C_1 [/mm]
[mm] I_2 = 2*\int\bruch{dx}{(x - 1)^2} [/mm]
Bei [mm] I_2 [/mm] nimmst du: [mm] x - 1 = t \Rightarrow x = t + 1 \Rightarrow dx = dt [/mm]
und bekommst so:
[mm] I_2 = 2*\int\bruch{dt}{t^2} = 2*\int t^{-2}dt = -2t^{-1} = -2(x - 1)^{-1} = \bruch{-2}{(x - 1)} + C_2 [/mm]
So bekommst du als Stammfunktion des ersten Integrals:
[mm] ln(x - 1) - \bruch{2}{(x - 1)} + C [/mm]
Bei der Ermittlung der Stammfunktion des zweiten Integrals nimmst du die Supstitution: [mm] 1 + 2x = t \Rightarrow x = \bruch{t - 1}{2} \Rightarrow dx = \bruch{dt}{2} [/mm]
So bekommst du:
[mm] \int\bruch{dx}{\wurzel{1 + 2x}} = \int\bruch{dt}{\wurzel{t}} = \int t^{\bruch{-1}{2}}dt = 2t^{\bruch{1}{2}} = 2\wurzel{t} = 2\wurzel{1 + 2x} + C [/mm]
Das sollte so jetzt richtig sein.
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