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| Aufgabe | Bestimme näherungsweise eine Stammfunktion zu f(x) = [mm] \bruch{1}{1+x^2}
[/mm]
in einer Umgebung von 0 |
1. Ableitung: [mm] \bruch{-2x}{(1+x^2)^2}
[/mm]
2. Ableitung: u(x)= -2x u'(x)= -2
Kettenregel:
g(x)= [mm] (g)^2 [/mm] g'(x)= 2*(g)
f(x)= [mm] 1+x^2 [/mm] f'(x) = 2*x
v'(x)= [mm] 2*(1+x^2)^2*2x
[/mm]
Bin mir unsicher wie ich die ergebnisse der kettenregel zusammensetzen soll....
ist dieses hoch 2 richtig bei v'(x)???
Vielen Dank im Vorraus
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Hallo Teenie!
Ich bin etwas verwirrt. Für diese Funktion lässt sich mit der Substitution $x \ := \ [mm] \tan(u)$ [/mm] eine exakte Stammfunktion bestimmen.
Oder sollst Du näherungsweise mittels Reihenentwicklung eine Stammfunktion bestimmen?
Dann kannst Du für $f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{1+x^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1-\left(-x^2\right)}$ [/mm] die geometrische Reihe aufstellen und dann summandenweise integrieren:
$$f(x) \ = \ [mm] \bruch{1}{1-\left(-x^2\right)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\left(-x^2\right)^k$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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Neee die Vorgehensweise ist schon richtig...wir sollen das mit hilfe der taylor-reihe machen und brauchen somit die erste bis dritte ableitung vorher
wir haben es auch anders gemacht,bloss wir sollen mehrere möglichkeiten kennen lernen....
könntest du mir bei der 2.ableitung helfen???
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:10 Di 12.02.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
[mm] f'(x)=\bruch{\overbrace{-2x}^{u}}{\underbrace{(1+x^2)^2}_{v}}
[/mm]
Jetzt gilt nach Quotientenregel: [mm] f'(x)=\bruch{u'v-v'u}{v²}
[/mm]
Also hier:
[mm] f''(x)=\bruch{\overbrace{-2}^{u'}\overbrace{(1+x^2)^{2}}^{v}-\overbrace{(1+x^2)*2x}^{v'\text{Kettenregel}}*\overbrace{(-2x)}^{u}}{\underbrace{(1+x^2)^{4}}_{v²}}
[/mm]
Jetzt noch weitestgehend zusammenfassen.
Marius
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| Aufgabe | f''(x)= [mm] \bruch{(-2)*(1+x^2)^2-(1+x^2)*2x*(-2x)} {(1+x^2)^4}
[/mm]
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f''(x)= [mm] \bruch{(-2)*(1+2x^4+x^4)-(-4x^2)*(1+x^2)}{(1+x^2)^4}
[/mm]
zusammengefasst bekomme ich da raus:
f''(x)= [mm] \bruch{(-2-x^4+4x^2}{(1+x^2)^4}
[/mm]
wie soll ich denn die hoch 4 wegkürzen,wenn ich im Zähler kein x ausklammern kann???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 12.02.2008 | | Autor: | bamm |
Prüf nochmal das Auflösen der Binomischen Formel nach, das stimmt nicht (ebenso das Zusammenfassen danach). Bei 2*a*b kann sich ja der Exponent von [mm]x^2[/mm] hier nicht ändern, bei dir steht dort [mm]2*x^4[/mm].
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nach der Auflösung der binomischen formel habe ich das heraus
[mm] \bruch{(-2)*(1+2x^2+x^4)-(-4x^2)*(1+x^2}{(1+x^2)^4}
[/mm]
erste und zweite klammer wird aufgelöst:
[mm] \bruch{(-2-4x^2-2x^4)-(-4x^2)*(1+x^2)}{(1+x^2)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{(-2-4x^2-2x^4)+4x^2+4x^4)}{(1+x^2)^4}
[/mm]
zusammengefasst: [mm] \bruch{-2+2x^4}{(1+x^2)^4}
[/mm]
Ist diese zusammenfassung richtig?? könntet ihr mir die fehler anstreichen????
Was mache ich denn mit dem hoch 4..ich kann ja kein x ausklammern..
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Di 12.02.2008 | | Autor: | bamm |
Sieht richtig aus. Wo ist das Problem mit dem hoch 4? Du hast deine 2. Ableitung berechnet, mehr willst du doch gar nicht?
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naja die zweite ableitung muss doch immer mit einer hoch 3 im nener enden....
bei der dritten ableitung darf die hoch 4 stehen bleiben??!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:22 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
> naja die zweite ableitung muss doch immer mit einer hoch 3
> im nener enden....
> bei der dritten ableitung darf die hoch 4 stehen
> bleiben??!!!
Wenn du noch ausklammern willst:
Der Zähler lässt sich wie folgt umformen:
[mm] -2+2x^4=2(x^4-1)=2(x^2+1)(x^2-1)
[/mm]
Das enthält einen Faktor, der auch in deinem Nenner reichlich vorhanden ist...
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könnte mir bitte jemand die endfassung der 2.ableitung aufschreiben,das wäre sehr lieb.ich bin grad etwas confused......würde dann die 3. ableitung machen wollen..
Liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:37 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
Forme den Zähler um wie vorgeschlagen und kürze einmal [mm] (x^2+1) [/mm] weg.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Di 12.02.2008 | | Autor: | abakus |
Wenn du noch ausklammern willst:
Der Zähler lässt sich wie folgt umformen:
[mm] -2+2x^4=2*(x^4-1)=2*(x^2+1)(x^2-1)
[/mm]
Das enthält einen Faktor, der auch in deinem Nenner reichlich vorhanden ist...
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ok,aber für die dritte ableitung dürfte ich dann ja nicht ausklammern,das wäre dann ja doppelte arbeit..??!!!
Liebe Grüße
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Hallo, euch fehlt seit Marius's Antwort ein Faktor 2:
[mm] f'(x)=\bruch{-2x}{(1+x^{2})^{2}}
[/mm]
u=-2x
u'=-2
[mm] v=(1+x^{2})^{2}
[/mm]
[mm] v'=2(1+x^{2})*2x=4x(1+x^{2})
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2*(1+x^{2})^{2}-(-2x)*4x(1+x^{2})}{(1+x^{2})^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2*(1+x^{2})^{2}+8x^{2}(1+x^{2})}{(1+x^{2})^{4}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{-2*(1+x^{2})+8x^{2}}{(1+x^{2})^{3}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{6x^{2}-2}{(1+x^{2})^{3}}
[/mm]
den Nenner belassen wir, erneut Quotientenregel:
[mm] u=6x^{2}-2
[/mm]
u'=12x
[mm] v=(1+x^{2})^{3}
[/mm]
[mm] v'=3(1+x^{2})^{2}*2x=6x*(1+x^{2})^{2}
[/mm]
f'''= ....
Steffi
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hallo steffi....Erstmal vielen lieben Dank,dass du nochmal alles nachgerechnet hast... 
was hast du als lösung heraus???
Ich habe: [mm] \bruch{24x+49x^3+6x^5}{(1+x^2)^4}
[/mm]
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Es scheint noch nicht ganz richtig zu sein...
f(x) = [mm] \bruch{6x^2-2}{(1+x^{2})^{3}} [/mm] = [mm] \bruch{u(x)}{v(x)}
[/mm]
u'(x) = 12x
v'(x) = [mm] 3*(1+x^{2})^{2}*2x [/mm] = [mm] 6x*(1+x^{2})^{2}
[/mm]
Nun ist
f'(x) = [mm] \bruch{u'(x)*v(x) - u(x)*v'(x)}{(v(x))^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{12x*(1+x^{2})^{3} - (6x^2-2)*6x*(1+x^{2})^{2}}{(1+x^{2})^{6}}
[/mm]
Es empfiehlt sich nun, schon jetzt im Nenner [mm] (1+x^{2})^{2} [/mm] auszuklammern.
= [mm] \bruch{(1+x^{2})^{2}*(12x*(1+x^{2}) - (6x^2-2)*6x)}{(1+x^{2})^{6}}
[/mm]
= [mm] \bruch{12x*(1+x^{2}) - (6x^2-2)*6x}{(1+x^{2})^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{12x + 12x^{3} - 36x^3+12x}{(1+x^{2})^{4}}
[/mm]
= [mm] \bruch{24x-24x^{3}}{(1+x^{2})^{4}}
[/mm]
= [mm] 24*\bruch{x-x^{3}}{(1+x^{2})^{4}}
[/mm]
Fertig!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:34 Di 12.02.2008 | | Autor: | Teenie88w |
vielen lieben danke erstmal
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hey steppenhahn..könntest du mir die taylor-reihe mit den werten von null noch zusammenfassen,weiss nicht richtig wie ich das mit dem fakultät mache...würde das dann mit 1 selbst probieren...
Liebe Grüße
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der ansatz müsste doch sein: [mm] 0+(0/1fakultät)x+(-2/2fakultät)x^2+(0/3fakultät)x^3
[/mm]
laut GTR stimmen die werte..ich muss das abere noch verreinfachen..Bitte um Hilfe..
Liebe Grüße
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1! = 1
2! = 2 * 1! = 2 * 1 = 2
3! = 3 * 2! = 3 * 2 * 1 = 6
4! = 4 * 3! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24
...
Mehr vereinfachen kann man die Reihe dann eigentlich nicht.
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hmm... das meinte ich eigentlich nicht so ganz..wäre lieb,wenn du mir sagst,wie man dass in der taylor reihe rechnet,hatte die werte für null oben schon eingesetzt...
Liebe Grüße
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Ich versuch jetzt mal zu machen was du haben möchtest (so ganz hab ichs nämlich nicht verstanden  )
Taylorreihe einer Funktion f in der Umgebung von a wird gebildet mit:
[mm]f(x) \approx f(a) + f'(a)*\bruch{x}{1!} + f''(a)*\bruch{x^{2}}{2!} + f'''(a)*\bruch{x^{3}}{3!} + ...
\gdw
f(x) \approx f(a) + f'(a)*x + f''(a)*\bruch{x^{2}}{2} + f'''(a)*\bruch{x^{3}}{6} + ...
[/mm]
Nun die Werte der Ableitungen für a = 0 einsetzen:
[mm]
f(x) \approx 1 + 0*x + (-2)*\bruch{x^{2}}{2} + 0*\bruch{x^{3}}{6}
\gdw
f(x) \approx 1 + (-2)*\bruch{x^{2}}{2}
\gdw
f(x) \approx 1 - x^{2}
[/mm]
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ich wollte das einfach nur handschriftlich ausgerechnet bzw vereinfacht haben
muss das halt noch für die umgebung 1 ausrechnen,aber dankeschön schon mal....................Liebe Grüße
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Für a = 1 einsetzen:
f(x) [mm] \approx [/mm] f(1) + f'(1)*x + [mm] f''(1)*\bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] f'''(1)*\bruch{x^{3}}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \left(-\bruch{1}{2}\right)*x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{x^{2}}{2} [/mm] + [mm] 0*\bruch{x^{3}}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \left(-\bruch{1}{2}\right)*x [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{x^{2}}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}*x^{2}
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:09 Di 12.02.2008 | | Autor: | Gogeta259 |
Wieso wird hier noch so viel geredet???
Der Ansatz mit der geometrischen Reihe ist doch der beste! Wieso sollte man da noch großartig mit den Ableitungen rummanchen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:10 Di 12.02.2008 | | Autor: | bamm |
Hey, man muss alle Wege mal ausprobieren...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 12.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo!
Warum näherungsweise?
[mm] $\int \bruch{1}{1+x^2} \mathrm{d}\,x [/mm] = [mm] \arctan{x}$
[/mm]
Gruß
mathemak
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leute mein gehirn raucht.....;-(
wenn ich jetzt 0 (1) einsetze in die zweite und dritte ableitung,was kommt dabei raus???
ich muss es später in die taylos-reihe einsetzen.....
für die zweite habe ich L(0)= 2 raus und für L(1) 4.25. beim einsetzen in die zweite ableitung....das kann doch nicht sein oder???
was bekommt ihr beim einsetzen von eins bzw null in die ableitungenm raus..
Bitte um hilfe...
Liebe grüße
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Wieso willst du 1 einsetzen?
Es geht doch nur um die Umgebung um 0. Da ist
[mm]
f(0) = 1,
f'(0) = 0,
f''(0) = -2,
f'''(0) = 0.
[/mm]
Nur noch falls das mit der 1 doch einen Belang haben sollte:
[mm]
f(1) = \bruch{1}{2},
f'(1) = -\bruch{1}{2},
f''(1) = \bruch{1}{2},
f'''(1) = 0.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:17 Di 12.02.2008 | | Autor: | Teenie88w |
Danke,das kommt hin,habs in den GTR eingegeben!!!!!
Vielen Dank für deine Geduld!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
LG
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