Stammfunktion bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Stammfunktion zu
f(x) = [mm] \bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}} [/mm] |
Hallo,
habe so einige Videos über die Substitutionsmethode gesehen und auch ca. 15 Aufgaben gerechnet, aber hier komme ich einfach nicht weiter....
als erstes wähle ich mein U
u= [mm] \wurzel{x}
[/mm]
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] (\bruch{x}{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] oder auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}}
[/mm]
dx= [mm] \bruch{du}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}}}
[/mm]
[mm] \integral_{\bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{u} \bruch{du}{\bruch{du}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}}}}}
[/mm]
darstellung klappt net so, also mache ich es mal ohne dieses integral
[mm] \bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{u} \bruch{du}{\bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}}}
[/mm]
normalerweise konnte ich bei den aufgaben hier entweder einen faktor herauslösen, oder konnte so weit kürzen, dass das du alleine stand...... und nun ?!?
kann mir wer weiterhelfen ?
gruß smuji
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> Bestimmen Sie die Stammfunktion zu
>
> f(x) = [mm]\bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}}[/mm]
> als erstes wähle ich mein U
>
> u= [mm]\wurzel{x}[/mm]
ich habe meine Zweifel, ob dies geschickt ist !
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm](\bruch{x}{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm] oder auch
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
dies stimmt nicht !
> ...............
> ...............
Hallo smuji,
die gegebene Funktion lässt sich ganz ohne Substitution
integrieren, nämlich durch Ausmultiplizieren und Kürzen,
wonach man allein reine Potenzen von x integrieren muss.
Wenn du es trotzdem mit Substitution machen sollst oder
willst: Setze [mm] u:=1-\sqrt{x} [/mm] !
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
kenne die anderen methoden leider nicht...probiere es mal mit dem von dir vorgeschlagenen U
aber zuerst,
warum ist meine ableitung falsch??
u= $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $ = [mm] x^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] u'=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] ??????
f(x) = $ [mm] \bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}} [/mm] $
u= [mm] 1-\wurzel{x}
[/mm]
du/dx= [mm] -\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
soweit richtig ?
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> warum ist meine ableitung falsch??
>
> u= [mm]\wurzel{x}[/mm] = [mm]x^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]u'=\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] ??????
Na gut, das ist richtig. Aber vorher hattest du geschrieben:
> u= $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $
> $ [mm] \bruch{du}{dx}\ [/mm] =\ [mm] (\bruch{x}{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] $ oder auch $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}} [/mm] $
und dies ist falsch ! Beachte den Unterschied der Terme
genau; es geht um korrekte Klammersetzung bzw. um
die Regeln betr. Weglassung von Klammern.
> f(x) = [mm]\bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}}[/mm]
>
> u= [mm]1-\wurzel{x}[/mm]
>
> du/dx= [mm]-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> soweit richtig ?
Ja. Und dann weiter ...
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, bevor ich weiter mache, nochmal eine kurze frage für die zukunft.
du sagst:
Na gut, das ist richtig. Aber vorher hattest du geschrieben:
> u= $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $
> $ [mm] \bruch{du}{dx}\ [/mm] =\ [mm] (\bruch{x}{2})^{-\bruch{1}{2}} [/mm] $ oder auch $ [mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}} [/mm] $
was genau ist daran falsch ?
die ableitung von $ [mm] \wurzel{x} [/mm] $
ist doch :
[mm] \bruch{1}{2}{x}^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
ach, sehe es gerade....richtige wäre: [mm] \bruch{\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}}, [/mm] oder ?
nun ja, ich mach mal weiter....
[mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = $ [mm] -\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}} [/mm] $ oder auch [mm] \bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}}
[/mm]
dx= [mm] \bruch{du}{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}}}
[/mm]
und wenn wir nun zum integrieren kommen wollen
[mm] \integral$ \bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}} [/mm] $ [mm] \bruch{du}{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}}}
[/mm]
und nun ?????
soll ich nun etwa:
[mm] \integral$ \bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}} [/mm] $ [mm] \bruch{du}{1} \bruch{\wurzel{x}}{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
und über kreuz die wurzeln kürzen:
[mm] \integral$ \bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{1} [/mm] $ [mm] \bruch{du}{1} \bruch{1}{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
ich komm nicht weiter.......
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Hallo,
> ok, bevor ich weiter mache, nochmal eine kurze frage für
> die zukunft.
>
> du sagst:
>
> Na gut, das ist richtig. Aber vorher hattest du
> geschrieben:
>
> > u= [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> > [mm]\bruch{du}{dx}\ =\ (\bruch{x}{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm] oder
> auch [mm]\bruch{1}{\wurzel{\bruch{x}{2}}}[/mm]
>
>
>
> was genau ist daran falsch ?
>
> die ableitung von [mm]\wurzel{x}[/mm]
>
> ist doch :
>
>
Das stimmt, aber das ist nicht gleich [mm] $(x/2)^{-1/2}$
[/mm]
Kennst du die Potenzregeln aus der Mittelstufe?
Nacharbeiten <--- !!!!
>
>
> ach, sehe es gerade....richtige wäre:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}},[/mm] oder ?
Ja!
>
>
> nun ja, ich mach mal weiter....
>
>
> [mm]\bruch{du}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}x^{-\bruch{1}{2}}[/mm] oder auch
> [mm]\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}}[/mm]
>
>
> dx= [mm]\bruch{du}{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> und wenn wir nun zum integrieren kommen wollen
>
>
> [mm]\integral[/mm] [mm]\bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}}[/mm] [mm]\bruch{du}{\bruch{-\bruch{1}{2}}{\wurzel{x}}}[/mm]
>
>
>
> und nun ?????
>
>
> soll ich nun etwa:
>
>
> [mm]\integral[/mm] [mm]\bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}}[/mm][mm]\bruch{du}{1} \bruch{\wurzel{x}}{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> und über kreuz die wurzeln kürzen:
>
>
> [mm]\integral[/mm] [mm]\bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{1}[/mm] [mm]\bruch{du}{1} \bruch{1}{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
> ich komm nicht weiter.......
Das -1/2 kannst du als -2 vor das Integral ziehen
Den Ausdruck [mm] $(1-\sqrt x)^2$ [/mm] ersetze gem. deinem Substitutionsansatz durch einen Ausdruck in u - welchen?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:11 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ach sorry, habe garnicht gesehen, dass ich das u nicht mitgenommen habe
-2 $ [mm] \integral [/mm] $ $ [mm] \bruch{(u)^{2}}{1} [/mm] $ $ [mm] \bruch{du}{1} \bruch{1}{1} [/mm] $
daraus folgt
-2 [mm] \integral (u)^{2}du
[/mm]
ist das gleiche wie
-2 [mm] \integral u^{2}du
[/mm]
integrieren:
F(x) = [mm] \bruch{u^{3}}{3}
[/mm]
und nun rücksubsituieren
F(x) = [mm] \bruch{(1-\wurzel{x})^{3}}{3}
[/mm]
so nun richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Sa 26.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ach sorry, habe garnicht gesehen, dass ich das u nicht
> mitgenommen habe
>
>
> -2 [mm]\integral[/mm] [mm]\bruch{(u)^{2}}{1}[/mm] [mm]\bruch{du}{1} \bruch{1}{1}[/mm]
>
> daraus folgt
>
> -2 [mm]\integral (u)^{2}du[/mm]
>
> ist das gleiche wie
>
>
> -2 [mm]\integral u^{2}du[/mm]
>
> integrieren:
>
> F(x) = [mm]\bruch{u^{3}}{3}[/mm]
>
> und nun rücksubsituieren
>
>
> F(x) = [mm]\bruch{(1-\wurzel{x})^{3}}{3}[/mm]
>
>
>
>
> so nun richtig ?
Du hast den Vorfaktor -2 verloren. Weil die Hochzahl 3 ungerade ist, kannst du das Minuszeichen in die Klammer reinziehen und dort umstellen - sieht kompakter aus als mit dem Minus voran. Außerdem ist das nur eine Stammfunktion. Wenn das unbestimmte Integral (= {alle Stammfunkionen}) gesucht ist, fehlt noch die Integrationskonstante.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Sa 26.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ooh stimmt, sorry....vielen dank !!
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Hallo,
> kenne die anderen methoden leider nicht...probiere es mal
> mit dem von dir vorgeschlagenen U
>
Und ob du die Methode kennst! Das würdest du nämlich intuitiv so machen. Was macht man denn, wenn ein Term sehr kompliziert erscheint? Ja, man versucht ihn so umzuformen, dass er absolut handhabbar ist.
1. Beispiel:
Betrachte nur mal so aus Spaß den Term [mm] \frac{(x+x)^2}{x}
[/mm]
Nun vereinfachen wir diesen zu: [mm] \frac{(x+x)^2}{x}=\frac{(2x)^2}{x}=\frac{4x^2}{x}=4x
[/mm]
Jetzt sag mir mal was wohl einfach zu integrieren ist? 
Nun zu deiner Aufgabe:
[mm] \bruch{(1-\wurzel{x})^{2}}{\wurzel{x}}=\frac{1-2\sqrt{x}+x}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x}}-2+\frac{x}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}+x^{1/2}-2
[/mm]
Nun ist klar, wie die Integration auszuführen ist. Denn die Summanden auf der rechten Seite sind ja nun wirklich Standardaufgaben.
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