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Forum "Schul-Analysis" - Stammfunktion von e^x
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Stammfunktion von e^x: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:06 Mo 30.05.2005
Autor: wuschel

Hi Matheprofis!

Ich habe ein Problem in Mathe. Da wir jetzt schon mit unserem Buch fertig sind hat unser Lehrer uns die letzte Stunde die Herleitung der Funktion [mm] f:x=e^x [/mm] erklärt. Leider habe ich die Herleitung nicht ganz verstanden. Ich weiß zwar wie man auf die Stammfunktion kommt bei einer Beispielaufgabe, jedoch den Herleitungsweg nicht. Da ihr mir letztes Mal auch so super geholfen habt würde ich euch bitten mir diesen Weg zu erklären. Ich habe dazu auch ein paar Übungen gemacht .

So das ist der Herleitungsweg:
F:x = ex

Lim     = [f(x+h)-f(x)]/h
h [mm] \to [/mm] 0

[e^(x+h) - [mm] e^x]/h [/mm] = [mm] e^x [/mm] * [e(^h)-1]/h

X=0     [e(^h)-1]/h

[mm] e^h \ge [/mm]  h+1
e^-h  [mm] \ge [/mm] -h+1

h+1  [mm] \le e^h \le1/(1-h) [/mm]
h  [mm] \le e^h-1 \le [/mm] [1/(1-h)-1=] h/(1-h)

1 [mm] \le (e^h-1)/h \le [/mm] 1/(1-h)
1 [mm] \le (e^h-1)/h [/mm] =1

f(x)= [mm] e^x [/mm]     f’(x) = [mm] e^x [/mm]

Und hier sind ein Paar Übungen:
f(x)=e^(1-x)      f'(x)=-e^(1-x)
f(x)=e^kx          f'(x)=ke^kx    
[mm] f(x)=e^x² [/mm]          f'(x)= [mm] 2xe^x² [/mm]
f(x)=e^-x          f'(x)=-e^-x

Wäre echt lieb wenn mir jemdand weiter helfen könnte.

Liebe Grüße
Lisa

        
Bezug
Stammfunktion von e^x: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 Mo 30.05.2005
Autor: informix

Hallo Lisa,
> Hi Matheprofis!
>  
> Ich habe ein Problem in Mathe. Da wir jetzt schon mit
> unserem Buch fertig sind hat unser Lehrer uns die letzte
> Stunde die Herleitung der Funktion [mm]f:x=e^x[/mm] erklärt. Leider
> habe ich die Herleitung nicht ganz verstanden. Ich weiß
> zwar wie man auf die Stammfunktion kommt bei einer
> Beispielaufgabe, jedoch den Herleitungsweg nicht. Da ihr
> mir letztes Mal auch so super geholfen habt würde ich euch
> bitten mir diesen Weg zu erklären. Ich habe dazu auch ein
> paar Übungen gemacht .
>  

Es wäre schön, wenn du in Zukunft unseren Formeleditor benutzen würdest; denn damit lassen sich die Formeln viel leichter lesen:

> So das ist der Herleitungsweg:

Sei $f(x) = [mm] e^x$, [/mm] dann ist $F(x) = [mm] e^x$ [/mm] eine Stammfunktion von f .

>  F:x = ex
>  
> Lim     = [f(x+h)-f(x)]/h
>  h [mm]\to[/mm] 0

$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)-f(x)}{h}$ [/mm]
[mm] $=\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{e^{x+h} - e^x}{h} =\limes_{h\rightarrow 0} e^x* \bruch{e^h - 1}{h}$ [/mm]

> [e^(x+h) - [mm]e^x]/h[/mm] = [mm]e^x[/mm] * [e(^h)-1]/h
>  
> X=0     [e(^h)-1]/h
>  
> [mm]e^h \ge[/mm]  h+1
>  e^-h  [mm]\ge[/mm] -h+1
>  
> h+1  [mm]\le e^h \le1/(1-h)[/mm]
>  h  [mm]\le e^h-1 \le[/mm] [1/(1-h)-1=]
> h/(1-h)

hier zeigst du, dass [mm] $\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{e^h - 1}{h} [/mm] = 1$  ist:
> 1 [mm]\le (e^h-1)/h \le[/mm] 1/(1-h)
>  1 [mm]\le (e^h-1)/h[/mm] =1
>  

deine weiteren Überlegungen sind korrekt - was also sind deine Fragen?! [verwirrt]

> f(x)= [mm]e^x[/mm]     f’(x) = [mm]e^x[/mm]

besser: F(x) = [mm] e^x \Rightarrow [/mm] F'(x) = [mm] e^x [/mm] = f(x)
>  
> Und hier sind ein Paar Übungen:

hier wird jeweils die MBKettenregel angewandt:

>  f(x)=e^(1-x)      f'(x)=-e^(1-x)
>  f(x)=e^kx          f'(x)=ke^kx    
> [mm]f(x)=e^x²[/mm]          f'(x)= [mm]2xe^x²[/mm]
>  f(x)=e^-x          f'(x)=-e^-x
>  

alles [ok]
> Wäre echt lieb wenn mir jemdand weiter helfen könnte.
>  

gerne, aber stelle beim nächsten Mal konkretere Fragen, damit wir nicht so im Nebel stochern müssen. ;-)

Bezug
                
Bezug
Stammfunktion von e^x: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:54 Mo 30.05.2005
Autor: wuschel

Hi  Informix!

Vielen Dank für deine Hilfe!

Ich versuche es nächste Mal den Formeleditor zu benutzen. Leider weiß ich nicht so genau wie das geht, kann es aber probieren. Danke das du mich darauf hingewiesen hast!

Liebe Grüße
Lisa
Bezug
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