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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:44 Di 23.05.2006 | | Autor: | Markus23 |
| Aufgabe | | Eine Parabel 3. Ordnung geht durch O, (0/0) und hat dort die Steigung 0. In P(1(y(index 1)) hat sie einen Wendepunkt. Sie schließt mit der x- Achse für x größer gleich 0 eine Fläche von 81/4 FE im 4. Quadranten ein. Bestimme ihre Gleichung. |
Hallo, habe die Aufgabe im form gefunden könne mir jemand helfen,
das habe ich herrausgefunden:
f(x)= [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
f'(x)= [mm] 3ax^2+2bx+c
[/mm]
f'(x)= 6ax+2b
f(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] d=0
f'(0)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] c=0
y1= 6a+2b
hier komme ich nicht mehr weiter
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Hallo Markus!
Mit dem Funktionswert [mm] $y_1$ [/mm] des Wendepunktes $W_$ können wir nichts anfangen. Aber für den x-Wert kennen wir doch den Wert der 2. Ableitung (notwendiges Kriterium für Wendestelle):
$f''(1) \ = \ 6a+2b \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ [/mm] $b \ = \ -3a$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f(x) \ = \ [mm] a*x^3-3a*x^2$
[/mm]
Die letzte Bestimmungsgleichung erhalten wir nun aus der Flächen- sprich: Integralberechnung. Dafür benötigen wir aber zunächst die 2. Nullstelle [mm] $x_2$ [/mm] als obere Integrationsgrenze:
[mm] $\integral_{0}^{x_2}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{x_2}{a*x^3-3a*x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] a*\integral_{0}^{x_2}{x^3-3x^2 \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{81}{4}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Do 25.05.2006 | | Autor: | Markus23 |
| Aufgabe | und wie kann ich die 2. Nullstelle berechnen?
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habe versucht die formel umumzustellen geht aber nicht
[mm] f(x)=x^2(ax+b) \Rightarrow [/mm] x =0 und x=-b/a.
81/4= [mm] \bruch{a}{4} x^{4}+ \bruch{b}{3} x^{3}
[/mm]
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Hallo!
> und wie kann ich die 2. Nullstelle berechnen?
>
> habe versucht die formel umumzustellen geht aber nicht
> [mm]f(x)=x^2(ax+b) \Rightarrow[/mm] x =0 und x=-b/a.
>
> 81/4= [mm]\bruch{a}{4} x^{4}+ \bruch{b}{3} x^{3}[/mm]
Du brauchst doch nur noch den letzten Teil umzuformen (Roadrunner hat doch schon vorgearbeitet), also fehlt noch:
[mm] $x^3-3x^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2(x-3)=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x=0 [mm] \vee [/mm] x=3$
Und damit hast du auch die zweite Nullstelle und somit die zweite Integralgrenze.
Wenn du das Integral nun berechnest, erhältst du a=3 und b=-9. Fertig. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:34 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Markus23 |
Danke, ich habe es jetzt auch raus, aber ich glaube du dich mit dem Vorzeichen vertan hast,
ich habe a=-3 und b=9
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:02 Fr 26.05.2006 | | Autor: | Disap |
Moin Markus.
> Danke, ich habe es jetzt auch raus, aber ich glaube du dich
> mit dem Vorzeichen vertan hast,
> ich habe a=-3 und b=9
Nööö. Bastiane hat völlig Recht. Du hast leider ein Vorzeichen übersehen, was Roadrunner in seiner Antwort rot dargestellt hat. So schreibt der gute Roadrunner:
$ [mm] \integral_{0}^{x_2}{f(x) \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral_{0}^{x_2}{a\cdot{}x^3-3a\cdot{}x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] a\cdot{}\integral_{0}^{x_2}{x^3-3x^2 \ dx} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{81}{4} [/mm] $
Es ist tatsächlich - [mm] \bruch{81}{4} [/mm] , damit stellt man in diesem Fall sicher, dass die Funktion (siehe Aufgabenstellung) auch wirklich im 4. Quadranten diese Fläche einschließt.
Bei dir liegt die Fläche im ersten Quadranten.
Jedenfalls erhalte ich auch Bastianes Ergebnisse...
MfG
Disap
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