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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Loon |
| Aufgabe | | Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung. Die Tangente an der Stelle x = 1 ist parallel zur x-Achse. Bei x = 2 ist ein Wendepunkt. Die Kurve schließt mit der x-Achse eine Fläche von 9cm² ein. Wie lautet die Funktion? |
Hallo,
Zwecks Klausurvorbereitung habe ich einmal versucht, diese Aufgabe zu lösen, was aber leider nicht so ganz klappt :( .
Erstmal habe ich die Grundfunktion der Parabel 3. Ordnung sowie ihre 1. und 2. Ableitung aufgeschrieben, also
f(x) = ax³ + bx² + cx + d
f'(x) = 3ax² + 2bx + c
f'' (x) = 6ax + 2b
Dass die Parabel durch den Ursprung geht, heißt ja
f(0) = a(0)³ + b(0)² + c(0) + d = d
d = 0
Wenn die Tangente an der Stelle x = 1 parallel zur x-Achse verläuft, muss ihre Steigung 0 sein, die 1. Ableitung der Grundfunktion ist also an der Stelle x = 1 0, also
f'(1) = 0 --> 0 = 3a (1)² + 2b (1) + c = 3a² + 2b + c
Wenn bei x = 2 ein Wendepunkt vorliegt, ist die 2. Ableitung der Funktion an dieser Stelle 0.
f''(2) = 0 --> 0 = [mm] 6\*2\*a [/mm] + 2b = 12a + 2b
Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, muss ein Gleichungssystem aufgestellt werden. Hier bin ich mit der Aufgabe nicht weitergekommen, da ich nciht genügend Gleichungen gefunden habe.
Eine Gleichung wäre natürlich
0 = 12a + 2b (Wendepunkt), eine andere
0 = 3a² + 2b + c (Tangente),
aber wie komme ich auf die dritte?
Ich denke, dass man die Gleichung mit Hilfe der letzten Information aufstellen kann(Die Kurve schließt mit der x- Achse eine Fläche von 9cm² ein). Dadurch, dass die Parabel durch den Ursprung läuft, ist ja auch schon eine der Integralgrenzen gegeben, 0, aber wie verwerte ich diese Infos so, dass ich eine Gleichung erhalte?
Vielen Dank,
Loon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Mo 28.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> Eine Parabel 3. Ordnung geht durch den Ursprung. Die
> Tangente an der Stelle x = 1 ist parallel zur x-Achse. Bei
> x = 2 ist ein Wendepunkt. Die Kurve schließt mit der
> x-Achse eine Fläche von 9cm² ein. Wie lautet die Funktion?
> Hallo,
> Zwecks Klausurvorbereitung habe ich einmal versucht, diese
> Aufgabe zu lösen, was aber leider nicht so ganz klappt :( .
>
> Erstmal habe ich die Grundfunktion der Parabel 3. Ordnung
> sowie ihre 1. und 2. Ableitung aufgeschrieben, also
> f(x) = ax³ + bx² + cx + d
> f'(x) = 3ax² + 2bx + c
> f'' (x) = 6ax + 2b
super
> Dass die Parabel durch den Ursprung geht, heißt ja
> f(0) = a(0)³ + b(0)² + c(0) + d = d
> d = 0
richtig
> Wenn die Tangente an der Stelle x = 1 parallel zur x-Achse
> verläuft, muss ihre Steigung 0 sein, die 1. Ableitung der
> Grundfunktion ist also an der Stelle x = 1 0, also
> f'(1) = 0 --> 0 = 3a (1)² + 2b (1) + c = 3a² + 2b + c
0 = [mm] 3a^2 [/mm] +2b +c
richtig
>
> Wenn bei x = 2 ein Wendepunkt vorliegt, ist die 2.
> Ableitung der Funktion an dieser Stelle 0.
> f''(2) = 0 --> 0 = [mm]6\*2\*a[/mm] + 2b = 12a + 2b
0 = 12a + 2b
richtig
> Um die Funktionsgleichung zu bestimmen, muss ein
> Gleichungssystem aufgestellt werden. Hier bin ich mit der
> Aufgabe nicht weitergekommen, da ich nciht genügend
> Gleichungen gefunden habe.
>
> Eine Gleichung wäre natürlich
> 0 = 12a + 2b (Wendepunkt), eine andere
> 0 = 3a² + 2b + c (Tangente),
> aber wie komme ich auf die dritte?
>
> Ich denke, dass man die Gleichung mit Hilfe der letzten
> Information aufstellen kann(Die Kurve schließt mit der x-
> Achse eine Fläche von 9cm² ein). Dadurch, dass die Parabel
> durch den Ursprung läuft, ist ja auch schon eine der
> Integralgrenzen gegeben, 0, aber wie verwerte ich diese
> Infos so, dass ich eine Gleichung erhalte?
>
> Vielen Dank,
> Loon
ist es nicht so, wenn die kurve mit der x-achse ein flächenstück einschließt, dass die gesuchte funktion dann noch (mindestens) eine nullstelle für x>0 besitzen muss?
ich könnte natürlich auch aufleiten und
F(x) = [mm] \bruch{a}{4}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{b}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{c}{2}x^2 [/mm] + dx
d=0
F(x) = [mm] \bruch{a}{4}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{b}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{c}{2}x^2 [/mm]
9 = [mm] [\bruch{a}{4}x^4 [/mm] + [mm] \bruch{b}{3}x^3 [/mm] + [mm] \bruch{c}{2}x^2 [/mm] - 0]
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Di 29.05.2007 | | Autor: | Loon |
Hallo,
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Allerdings habe ich immer noch eine Frage dazu.
1.) ist es nicht so, wenn die kurve mit der x-achse ein flächenstück einschließt, dass die gesuchte funktion dann noch (mindestens) eine nullstelle für x>0 besitzen muss?
Was bedeutet das denn für die Aufgabe?
Mit Hilfe der aufgeleiteten Funktion konnte ich die Aufgabe dann aber lösen, vielen Dank, da wäre ich alleine wohl nie drauf gekommen!
loon
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Hi, Loon,
zunächst eine kleine Korrektur:
Deine zweite Gleichung heißt 3a + 2b + c = 0, nicht [mm] 3a^{2} [/mm] + ....
> 1.) ist es nicht so, wenn die kurve mit der x-achse ein
> flächenstück einschließt, dass die gesuchte funktion dann
> noch (mindestens) eine nullstelle für x>0 besitzen muss?
>
> Was bedeutet das denn für die Aufgabe?
Gehen wir logisch ran:
(1) Hätte die Funktion keine weitere Nullstelle, so wäre die Fläche unendlich groß.
(2) Hätte die Funktion 2 weitere Nullstellen (also mit x=0 zusammen deren drei), so gäbe es ZWEI Flächenstücke.
Beides ist laut Aufgabenstellung auszuschließen.
Folgerung:
- Es gibt nur noch [mm] \red{eine} [/mm] weitere Nullstelle - was nur möglich ist, wenn diese Nullstelle doppelt ist.
- Eine doppelte Nullstelle ist gleichzeitig Extremstelle.
Wo liegt nun diese doppelte Nullstelle?
Dazu ein bisschen Grundwissen zu Funktionen 3. Grades:
Der Graph einer Funktion 3. Grades ist immer PUNKTSYMMETRISCH zum Wendepunkt.
Nun: Dein Wendepunkt liegt bei x=2.
Der gegebene Extrempunkt liegt bei x=1.
Aus der oben erwähnten Symmetrie erkennst Du:
Der zweite Extrempunkt muss bei x=3 liegen.
Aus den obigen Überlegungen ist demnach die doppelte Nullstelle (gleichzeitig die 2. Extremstelle): [mm] x_{2/3}=3. [/mm]
Nun kannst Du das Integral berechnen, denn die fragliche Obergrenze ist bei x=3.
mfG!
Zwerglein
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