Stecke fest < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Di 28.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Gezeigt werden soll:
\summe_{k=1}^{n}x^{2k-1}=\frac{x^{2n-1}- x}{x^{2}-1} |
Hallo,
stecke bei dieser Aufgabe leider fest. Die IV ist erfüllt mit n=1, aber schon wenn ich die Induktionsschritt ausführen will:
$x^{2n-1}+x^{2n+1}=\frac{x^{2n+3}+x^{2}}{x^{2}-1}}$
komme ich nicht mehr weiter...
hat jemand eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Huhu,
> aber schon wenn ich die Induktionsschritt
> ausführen will:
>
> [mm]x^{2n-1}+x^{2n+1}=\frac{x^{2n+3}+x^{2}}{x^{2}-1}}[/mm]
>
> komme ich nicht mehr weiter...
ich sehe hier keinen IS von dir. Beginne mit:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}x^{2k-1}= \summe_{k=1}^{n}x^{2k-1} [/mm] + [mm] x^{2(n+1)-1} [/mm] = [mm] \ldots$
[/mm]
Der Rest ist umformen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 Di 28.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Entschuldige die Tippfehler!
[mm] $x^{2k-1}+x^{2n+1}=\frac{x^{2n+3}-x}{x^{2}-1}$
[/mm]
war gemeint. Jetzt kann ich ja da nicht viel machen ausser [mm] $x^{2k-1}$ [/mm] ersetzen und dann umformen, oder direkt umformen. Mit keinem komme ich weiter...
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Nochmal:
Wo kommt dein [mm] x^{2k-1} [/mm] denn her? Vom Himmel gefallen?
Ich hab dir doch den Anfang gemacht, fange damit doch mal an und setze Konsequent die IV ein und forme dann um.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:00 Di 28.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey.
Bist du sicher, dass die Aufgabe so richtig gestellt ist?, denn für n=1 bekomme ich keine Gleichung.
JAn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Di 28.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Huhu,
ne Gleichung bekommst du schon, nur leider keine Gleichheit beider Seiten 
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Di 28.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
hätte von meinem Prof. bei der Klausureinsicht Analysis 1 sein können ;)))
Naja aber wie ist denn nun die richtige Aufgabe?
JAn
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> Naja aber wie ist denn nun die richtige Aufgabe?
>
> JAn
Hallo,
ach, ich mag das so sehr, wenn anhand falscher Lösungen die richtige Aufgabe zu erraten ist...
Mein Tip:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}x^{2k-1}=\frac{x^{2n\red{+}1}- x}{x^{2}-1} [/mm] $
Gruß von Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 Di 28.09.2010 | | Autor: | Gonozal_IX |
Korrekt wäre:
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}x^{2k-1}=\frac{x^{2n+1}- x}{x^{2}-1} [/mm] $
Aber das wird er schon merken 
MFG;
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 Di 28.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
also, da wir nun die Aufgabe haben, zur Lösung :)
> Gezeigt werden soll:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}x^{2k-1}=\frac{x^{2n+1}- x}{x^{2}-1}[/mm]
>
> Hallo,
>
>
> stecke bei dieser Aufgabe leider fest. Die IV ist erfüllt
> mit n=1,
das sieht dann also so aus:
[mm]\summe_{k=1}^{1}x^{2k-1}=\frac{x^{2*1+1}- x}{x^{2}-1}[/mm]
führt also zu x=x (nach ausklammern und kürzen, was ich mal weglasse, da du das wahrscheinlich ehs chon hast).
und jetzt sagst du einfach es gelte für alle n und zeigst jetzt, dass es für n+1 gilt.
Dazu ziehst du die neu entstandene Summe auseinander (wie in der ersten Antwort gezeigt).
dann erweiterst du den zweiten Summanden mit dem Nenner und fasst zusammen.
Dann nimmst du deinen Summenwert, welcher rauskommen soll, und setzt da auch für n n+1 ein und rechnest das mal aus. Dann siehst du, dass das gleiche rauskommt. Das ist jetzt die Vorgehensweise, man sollte das dann noch ordentlich mit IA, IV und IS aufschrieben.
Viele Grüße!
JAn
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Hallo kushkush,
muss die Aufgabe mit vollst. Induktion gelöst werden?
Wenn Ihr auf die Summenformel für geometrische Reihen zugreifen dürftet, wärst Du sehr schnell fertig.
Ansonsten ist ja schon alles gesagt, und du bist dran.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 28.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke für alle Hinweise.
[mm] $x^{2k-1}+x^{2n+1}=\frac{x^{2n+3}-x}{x^{2}-1}=\frac{x^{2n+1}-x}{x^{2}-1}+x^{2n+1}=\frac{x^{2n+3}-x}{x^{2}-1}=x^{2n+1}-x+(x^{2}-1)x^{2n+1}=x^{2n+3}-x=(x^{2}-1)x^{2n+1}=2^{2n+3}=x^{2n+1}=\frac{x^{2n+1}(x^{2}-1)}{x^{2}-1}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:12 Di 28.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
hey...
[mm]x^{2k-1}+x^{2n+1}=x^{2n+1}[/mm] ???
das ist glaube nicht korrekt...ist das dein Induktionsscritt?
JAn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:14 Di 28.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich habs umgeformt bis beide Seiten gleich sind... reicht das nicht??
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Hallo kushkush,
> Danke für alle Hinweise.
>
> [mm]x^{2k-1}+x^{2n+1}=\frac{x^{2n+3}-x}{x^{2}-1}=\frac{x^{2n+1}-x}{x^{2}-1}+x^{2n+1}=\frac{x^{2n+3}-x}{x^{2}-1}=x^{2n+1}-x+(x^{2}-1)x^{2n+1}=x^{2n+3}-x=(x^{2}-1)x^{2n+1}=2^{2n+3}=x^{2n+1}=\frac{x^{2n+1}(x^{2}-1)}{x^{2}-1}[/mm]
Das ist Kuddelmuddel hoch 3 und falsch (aufgeschrieben)!!
Wo sind die Summenzeichen?
Du musst doch im Induktionsschritt zeigen:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{\red{n+1}}x^{2k-1}=\frac{x^{2(\red{n+1})+1}-x}{x^2-1}[/mm]
Dazu nimmst du die linke Seite her und formst mit der Induktionsvoraussetzung um:
[mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}x^{2k-1}=\left[ \ \blue{\sum\limits_{k=1}^{n}x^{2k-1}} \ \right] \ + \ x^{2(n+1)-1}[/mm]
[mm]\underbrace{=}_{\blue{\text{IV}}}\blue{\frac{x^{2n+1}-x}{x^2-1}} \ + \ x^{2n+1}[/mm]
[mm]=\frac{x^{2(n+1)}-x+(x^2-1)\cdot{}x^{2n+1}}{x^2-1}=\ldots=\frac{x^{2n+3}-x}{x^2-1}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Di 28.09.2010 | | Autor: | kushkush |
Ich verstehe und sehe schon weshalb ich es hätte untereinander schreiben müssen und mit Summenzeichen, aber:
$ [mm] \sum\limits_{k=1}^{n+1}x^{2k-1}=\left[ \ \blue{\sum\limits_{k=1}^{n}x^{2k-1}} \ \right] [/mm] \ + \ [mm] x^{2(n+1)-1} [/mm] $
Das Blaue habe ich ja ersetzt... Ich habe dann doch gezeigt dass beide Seiten gleich sind?
Oder: Muss ich bei einem Induktionsbeweis zwangsweise auf die rechte Seite der Behauptung kommen oder reicht es wenn ich beide Seiten beim Induktionsschluss zur Gleichheit umformen kann?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:33 Di 28.09.2010 | | Autor: | MorgiJL |
So...
nochmal das Prinzip:
Du sagst es gilt für n=1...so also 1 einsetzen für n und linke seite ausrechnen, dann 1 einsetzn und rechte seite ausrechnen...gleiches ergebnis --> es gilt für n=1
dann allgemein sagen es gilt für n Zahlen,
UND JETZT kommt der IS in dem du zeigen sollst, dass es für n+1 gilt.
Das machst du wie für n nur dass der Trick jetzt darin besteht, die Summe auseinander zu ziehen und den einen Teil (das Blaue) zu ersetzten, mit dem, von dem du behauptet hast, dass es stimmt. Dann nur noch erweitern und rechnen, bis das raus kommt, was rechts auch steht, wenn man n+1 für n einsetzt.
Die Vorher getroffene Behauptung (, dass es für n gilt) im Induktionsschritt einzusetzten, ist ja eben genau der Witz an der sache.
Gruß! Jan.
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> Ich verstehe und sehe schon weshalb ich es hätte
> untereinander schreiben müssen und mit Summenzeichen,
> aber:
>
> [mm]\sum\limits_{k=1}^{n+1}x^{2k-1}=\left[ \ \blue{\sum\limits_{k=1}^{n}x^{2k-1}} \ \right] \ + \ x^{2(n+1)-1}[/mm]
>
>
> Das Blaue habe ich ja ersetzt... Ich habe dann doch gezeigt
> dass beide Seiten gleich sind?
Hallo,
in dem, was Du zuvor schriebst, war sicher einiges gut gemeint.
Aber das Machwerk ist absolut chaotisch! Gleichheitszeichen, wo keine hingehören, Brücher verschwinden plötzlich und solche Scherze...
Gleichheitszeichen markieren Gleichheiten und sind nicht Abstandhalter oder Joker.
Schreib es jetzt einfach mal gescheit auf als Gleichungskette, an deren Beginn [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}x^{2k-1}=\left[ \ \blue{\sum\limits_{k=1}^{n}x^{2k-1}} \ \right] [/mm] \ + \ [mm] x^{2(n+1)-1}$ [/mm] =... steht und an deren Ende das, was rauskommen soll.
So ist ein Induktionsbeweis dann verständlich und nachvollziehbar.
Wenn Du unbedingt $ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}x^{2k-1}=\frac{x^{2n+3}- x}{x^{2}-1} [/mm] $ umformen willst, mußt Du einen Schwung Äquivalenzumformungen machen, also
$ [mm] \summe_{k=1}^{n+1}x^{2k-1}=\frac{x^{2n+3}- x}{x^{2}-1} [/mm] $
[mm] \gdw
[/mm]
...
[mm] \gdw
[/mm]
...
[mm] \gdw
[/mm]
...
Das wäre nicht falsch - ich rate davon ab, denn spätestens, wenn irgendwann einmal Ungleichungen zu beweisen sind, kommst Du in fürchterliche Schwierigkeiten.
Gruß v. Angela
>
> Oder: Muss ich bei einem Induktionsbeweis zwangsweise auf
> die rechte Seite der Behauptung kommen oder reicht es wenn
> ich beide Seiten beim Induktionsschluss zur Gleichheit
> umformen kann?
>
> Danke
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