Stetig und inj f: R^2 nach R ? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
ich frage mich gerade, ob eine Abbildung [mm] $f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb [/mm] R$ (oder allgemeiner [mm] $f:\mathbb R^m \rightarrow\mathbb R^n$ [/mm] mit $m>n$) möglich ist, die stetig UND injektiv ist.
Ich vermute nein, kann es aber mathematisch nicht in knapper Form begründen.
Freue mich sehr über Antworten!
Gruß,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:15 Mi 21.07.2010 | | Autor: | cycore |
Guten Morgen,
> ich frage mich gerade, ob eine Abbildung [mm]f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R[/mm]
> (oder allgemeiner [mm]f:\mathbb R^m \rightarrow\mathbb R^n[/mm] mit
> [mm]m>n[/mm]) möglich ist, die stetig UND injektiv ist.
> Ich vermute nein, kann es aber mathematisch nicht in
> knapper Form begründen.
>
Es tut mir leid dir das mitteilen zu müssen, aber die gibt es wohl (sogar zw. [mm] \IR^m [/mm] und [mm] \IR^n), [/mm] also ich persönlich kenne kein beispiel, aber mein topologie-prof. hat gesagt es gibt dazwischen sogar stetige bijektionen!
Was wir aber mit sicherheit sagen können (dank Brouwer) ist, dass die Umkehrabbildung dann nicht stetig ist, denn dann wäre die abbildung homöomorph und die Dimension ist glücklicherweise invariant!
aber ich lasse das hier mal als kommentar, vielleicht kennt ja sogar jemand ein beispiel (bzw. kannst ja mal selbst recherchieren, spezialfall Space-filling curves)
LG cycore
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Mi 21.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgender SATZ (L.E.J. Brouwer, Math. Ann. 70 , 1911, 161-165):
Wird eine Umgebung U von a [mm] \in \IR^p [/mm] stetig und injektiv auf eine Umgebung V von b [mm] \in \IR^q [/mm] abgebildet, so ist p=q.
FRED
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Hallo Fred,
danke für die Antwort! Hab versucht den Ausschnitt zu finden (unter Invarianz der Dimensionzahl), war allerdings net so erfolgreich. Deshalb noch zwei "Sicherheitsfragen" :
1) Stimmt es also, dass es keine stetige, injektive Abbildung von [mm] $\mathbb R^2$ [/mm] nach [mm] $\mathbb [/mm] R$ gibt?
2) Ist denn die stetige Abbildung [mm] $f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3,\quad [/mm] f(x,y)=(x,y,0)$ etwa nicht injektiv (mit [mm] $2=p\neq [/mm] q=3$) und damit im Widerspruch zum Satz von Brouwer?
Herzlichen Gruß,
Lorenz
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> Hallo Fred,
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> danke für die Antwort! Hab versucht den Ausschnitt zu
> finden (unter Invarianz der Dimensionzahl), war allerdings
> net so erfolgreich. Deshalb noch zwei "Sicherheitsfragen"
> :
Hallo,
beachte bitte meine Mitteilung.
>
> 1) Stimmt es also, dass es keine stetige, injektive
> Abbildung von [mm]\mathbb R^2[/mm] nach [mm]\mathbb R[/mm] gibt?
Ja, das würde ich aus dem Satz folgern - allerdings widerspricht das, dem, was cycorers Professor sagt...
>
> 2) Ist denn die stetige Abbildung [mm]f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3,\quad f(x,y)=(x,y,0)[/mm]
> etwa nicht injektiv
Natürlich ist die Abbildung injektiv.
> (mit [mm]2=p\neq q=3[/mm]) und damit im
> Widerspruch zum Satz von Brouwer?
Zu der von mir angemerkten "Variante" des Satzes gibt's keinen Widerspruch.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke für die Antwort! Hab versucht den Ausschnitt zu
> finden (unter Invarianz der Dimensionzahl), war allerdings
> net so erfolgreich. Deshalb noch zwei "Sicherheitsfragen"
> :
>
> 1) Stimmt es also, dass es keine stetige, injektive
> Abbildung von [mm]\mathbb R^2[/mm] nach [mm]\mathbb R[/mm] gibt?
>
> 2) Ist denn die stetige Abbildung [mm]f:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3,\quad f(x,y)=(x,y,0)[/mm]
> etwa nicht injektiv (mit [mm]2=p\neq q=3[/mm]) und damit im
> Widerspruch zum Satz von Brouwer?
Nein. Beachte das Wörtchen "auf" in:
"Wird eine Umgebung U von a $ [mm] \in \IR^p [/mm] $ stetig und injektiv auf eine Umgebung V von b $ [mm] \in \IR^q [/mm] $ abgebildet, so ist p=q. "
FRED
>
> Herzlichen Gruß,
> Lorenz
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> Es gilt folgender SATZ (L.E.J. Brouwer, Math. Ann. 70 ,
> 1911, 161-165):
>
> Wird eine Umgebung U von a [mm]\in \IR^p[/mm] stetig und injektiv
> auf eine Umgebung V von b [mm]\in \IR^q[/mm] abgebildet, so ist
> p=q.
Hallo,
hier muß es heißen "..., so ist [mm] p\le [/mm] q", oder?
p=q folgt dann, wenn die Abbildung ein Homöomorphismus ist.
Gruß v. Angela
>
>
> FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:06 Do 22.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Es gilt folgender SATZ (L.E.J. Brouwer, Math. Ann. 70 ,
> > 1911, 161-165):
> >
> > Wird eine Umgebung U von a [mm]\in \IR^p[/mm] stetig und injektiv
> > auf eine Umgebung V von b [mm]\in \IR^q[/mm] abgebildet, so ist
> > p=q.
>
> Hallo,
>
> hier muß es heißen "..., so ist [mm]p\le[/mm] q", oder?
Den obigen Satz habe ich schon richtig zitiert: p=q. Beachte : oben steht: ...." auf eine Umgebung V", also f(U)=V.
FRED
>
> p=q folgt dann, wenn die Abbildung ein Homöomorphismus
> ist.
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> Gruß v. Angela
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> >
> >
> > FRED
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> Den obigen Satz habe ich schon richtig zitiert: p=q.
> Beachte : oben steht: ...." auf eine Umgebung V", also
> f(U)=V.
Achso.
Meine Augen haben das sicher gesehen - aber den Weg ins Gehirn hat es nicht gefunden.
Ich hatte meine Weisheit hierher:
http://books.google.de/books?id=j17HeLOnGFsC&pg=PA46&lpg=PA46&dq=%22Brouwer%22+injektiv+stetig&source=bl&ots=Y5QgCR_IUK&sig=Q5ObMPz1x7VC2ZhGH07T_mLLiPQ&hl=de&ei=_6hHTL6lK-rY4waZ6ajZCQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBYQ6AEwAA#v=onepage&q=%22Brouwer%22%20injektiv%20stetig&f=false
Jetzt sehe ich den Unterschied.
Danke!
Gruß v. Angela
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