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| Aufgabe | An welchen Stellen ist die Funktion [mm] f:\IR\to[0,1] [/mm] stetig?
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{q} & x=\bruch{p}{q} \in \IQ \backslash\{0\} \\ 1 & x=0 \\ 0 & x\in \IR \ \backslash \IQ \end{cases}
[/mm]
wobei [mm] p\in\IZ,q\in\IN\backslash\{0\} [/mm] teilerfremd |
Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?? Muss ich da jetzt die Umkehrabbildung finden und dann bei den einzelnen Punkten auf Stetigkeit prüfen?
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> An welchen Stellen ist die Funktion [mm]f:\IR\to[0,1][/mm] stetig?
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> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{q} & x=\bruch{p}{q} \in \IQ \backslash\{0\} \\ 1 & x=0 \\ 0 & x\in \IR \ \backslash \IQ \end{cases}[/mm]
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> wobei [mm]p\in\IZ,q\in\IN\backslash\{0\}[/mm] teilerfremd
> Kann mir jemand bei der Aufgabe helfen?? Muss ich da jetzt
> die Umkehrabbildung finden
Nein, die Umkehrfunktion von $f$ wird nicht gebraucht: sie existiert auch gar nicht, da z.B. $f(3/4)=f(1/4)=1/4$.
> und dann bei den einzelnen
> Punkten auf Stetigkeit prüfen?
Ich würde mir statt dessen folgendes klar machen: sei [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] beliebig (also eventuell auch $=0$ bzw. [mm] $\in \IQ$), [/mm] dann gibt es für jedes noch so grosse [mm] $N\in \IN$ [/mm] ein [mm] $\delta [/mm] >0$ so dass für alle [mm] $\frac{p}{q}\in \IQ\;\cap\; ]x_0-\delta;x_0+\delta[\backslash\{x_0\}$ [/mm] (mit teilerfremdem $p,q$) gilt, dass $q>N$.
Das heisst, für jedes [mm] $x_0\in \IR$ [/mm] und jede noch so grosse natürliche Zahl $N$ gibt es eine [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] von [mm] $x_0$, [/mm] in der, ausser eventuell an der Stelle [mm] $x_0$, [/mm] $f$ nur Werte vom Betrag [mm] $<\frac{1}{N}$ [/mm] annimmt. Daraus folgt sogleich, dass $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] genau dann stetig ist, wenn [mm] $f(x_0)=0$ [/mm] ist.
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