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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Di 13.02.2007 | | Autor: | neuern |
| Aufgabe | Funktion die an der Stelle x0=-1 stetig, aber nicht differenzierbar ist
lsg. f(x)=|x|+1 |
hallo,
wie erkennt man so einfach wie möglich, dass diese funktion, stetig ist?
und wie kann man überprüfen ob sie differenzierbar ist?
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> Funktion die an der Stelle x0=-1 stetig, aber nicht
> differenzierbar ist
>
> lsg. f(x)=|x|+1
> hallo,
> wie erkennt man so einfach wie möglich, dass diese
> funktion, stetig ist?
> und wie kann man überprüfen ob sie differenzierbar ist?
Hallo
Eine Funktion ist stetig wenn sie keine Sprünge auf weißt. So kannst du die o.g. Funktion durchzeichnen ohne den bleistift abzusetzen.
f(x)=|x|+1
f(x) = x+1 für [mm] x\ge [/mm] 0
f(x) = -x+1 für [mm] x\le [/mm] 0
f'(x) = 1 für [mm] x\ge [/mm] 0
f'(x) = -1 für [mm] x\le [/mm] 0
Du siehst an der Stelle 0 hat die Funktion unterschiedliche Steigungen. Damit ist sie nicht differenzierbar.
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Di 13.02.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, neuern,
> Funktion die an der Stelle x0=-1 stetig, aber nicht
> differenzierbar ist
>
> lsg. f(x)=|x|+1
![[abgelehnt]](/images/smileys/abgelehnt.gif "[abgelehnt]")
Diese Funktion IST nämlich an der Stelle [mm] x_{0}= [/mm] -1 STETIG und DIFFERENZIERBAR!
Sieht die Lösung nicht vielmehr so aus:
f(x) = |x + 1| ??
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Di 13.02.2007 | | Autor: | neuern |
ja, ihc hatte mich auch schon über die lösung gewundert..hmm
wir hatten mal gelernt dass eine fkt. stetig ist, wenn
lim(mit x->x0) f(x) = f(x0) ...kann ich das jetz mit diesem x0=1 durch einsetzen oder sonstwas, irgendwie belegen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Di 13.02.2007 | | Autor: | Kyle |
Hi!
Deine neue Lösung ist richtig. Sonst "verschiebst" Du ja die Betragsfunktion nur um 1 nach oben.
Der Nachweis von Stetigkeit geht aber genau so wie beschrieben. Eine Funktion ist stetig in einem Punkt x, wenn [mm] \limes_{y\rightarrow\x} [/mm] f(y) = f(x) gilt. Klingt etwas kompliziert, ist aber beim Betrag ganz einfach.
Für den Nachweis der Nichtdifferenzierbarkeit in -1 zeigst Du halt das der [mm] \limes_{y\rightarrow\x} \bruch{f(y)-f(x)}{y-x} [/mm] unterschiedlich ist, wenn ich eine Folge habe die von oben gegen -1 geht und eine, die von unten gegen -1 geht. Dann kann der Limes nicht existieren (weil er eindeutig ist, wenn er existiert) und die Funktion ist dort nicht differenzierbar.
Liebe Grüße,
Kyle
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 13.02.2007 | | Autor: | neuern |
wenn man das jetz mal direkt auf meine Aufgabe bezieht, also das, mit der Stetigkeit
f(x)=|x+1| mit x0=-1
wie setze ich das dann in eben diese Gleichung [mm] \limes_{x\rightarrow\x0} [/mm] f(x) = f(x0), um es zu beweisen?
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Hi, neuern,
> wenn man das jetz mal direkt auf meine Aufgabe bezieht,
> also das, mit der Stetigkeit
> f(x)=|x+1| mit x0=-1
>
> wie setze ich das dann in eben diese Gleichung
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x0}[/mm] f(x) = f(x0), um es zu beweisen?
Bei Betragsfunktionen empfiehlt es sich die Betragsstriche aufzulösen.
Das ergibt in diesem Fall:
f(x)=|x+1| = [mm] \begin{cases} x + 1, & \mbox{für } x \ge -1 \\ -x - 1, & \mbox{für } x < -1 \end{cases}
[/mm]
Dann ist f(-1) = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow -1+} [/mm] (x+1) = 0
und
[mm] \limes_{x\rightarrow -1-} [/mm] (-x-1) = 0
Daher: stetig bei x=-1.
Ableitung:
f'(x)= [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x > -1 \\ - 1, & \mbox{für } x < -1 \end{cases}
[/mm]
Diesmal aber:
[mm] \limes_{x\rightarrow -1+} [/mm] f'(x) = 1
[mm] \limes_{x\rightarrow -1-} [/mm] f'(x) = -1
und daher: NICHT differenzierbar bei x=-1.
mfG!
Zwerglein
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