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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:26 So 23.04.2006 | | Autor: | prima |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, für jede der folgenden Aussagen, ob daraus die Stetigkeit der Funktion f: [mm] \IR^2 \to \IR:
[/mm]
a) [mm] \{f(x1,x2)| x1,x2 \in \IR } [/mm] ist offen
b) [mm] \forall [/mm] x1 [mm] \in \IR [/mm] : f(x1,:) : [mm] \IR \to \IR, [/mm] x2 [mm] \mapsto [/mm] f(x1,x2) ist stetig |
Guten Morgen,
Ich sitze gerade vor den Multiple Choice und weiß bei den beiden nicht weiter.Meine Gedanken zu der ersten:
Das Bild der Funktion ist doch offen, da die Mende der Bildpunkte offen ist. Aber das sagt d och nichts über die STetigkeit oder? DAher denke ich, dass das nciht impliziert, dass f stetig ist.
Zur zweiten:
Hier habe ich so gar keine Ahnung.Alle x2 werden abgebilder mit einer stetigen Funktionsvorschrift. Wieso steht vorher f(x1, :)???
Bitte helft mir,
Schonmal ein großes Danke, die mir versuchen zu helfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Prima
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 So 23.04.2006 | | Autor: | prima |
Sind meine Fragen so dumm, die Aufgabe zu blöd? Oder warum hilft mir keiner?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 19:35 So 23.04.2006 | | Autor: | Walde |
Hi Prima,
also hier meine Ansichten, aber ohne Gewähr. Ich bin mir nicht 100%ig sicher:
a) Zwischen topologischen Räumen definiert man: Eine Fkt. ist genau dann stetig, wenn das Urbild offener Menge wieder offene Mengen sind.
Das Urbild von [mm] \{f(x_1,x_2)|x_1,x_2 \in\IR\} [/mm] ist doch [mm] \{(x_1,x_2)|x_1,x_2 \in\IR\}, [/mm] also ganz [mm] \IR^2 [/mm] und das ist doch offen, wenn ich nicht irre. Also lehne ich mich mal aus dem Fenster und sage f ist stetig.
b) Dort steht nur, dass die Fkt in einer Komponente stetig ist. Das heisst meiner Meinung nicht, dass die Fkt. insgesamt stetig ist.
Aber das müsste sich mal jemand ansehen, der mehr als nur gefährliches Halbwissen hat 
Lg walde
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Hallo Walde,
> a) Zwischen topologischen Räumen definiert man: Eine Fkt.
> ist genau dann stetig, wenn das Urbild offener Menge wieder
> offene Mengen sind.
> Das Urbild von [mm]\{f(x_1,x_2)|x_1,x_2 \in\IR\}[/mm] ist doch
> [mm]\{(x_1,x_2)|x_1,x_2 \in\IR\},[/mm] also ganz [mm]\IR^2[/mm] und das ist
> doch offen, wenn ich nicht irre. Also lehne ich mich mal
> aus dem Fenster und sage f ist stetig.
Hierfür müssten die Urbilder aller offenen Mengen offen sein. Dies wäre aber erstmal nur eine. Übrigens muß das genannte für stetige Funktionen nichtmal zutreffen. Man betrachte nur den Wertebereich der Sinusfunktion.
> b) Dort steht nur, dass die Fkt in einer Komponente stetig
> ist. Das heisst meiner Meinung nicht, dass die Fkt.
> insgesamt stetig ist.
Das sehe ich auch so. Bsp.:
[mm] f(x_1,x_2)=\bruch{x_1}{x_1^2+x_2^2}
[/mm]
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 23.04.2006 | | Autor: | prima |
Danke!
Ich habe es doch jetzt richitg verstanden, dass die erste nicht stetig ist.Oder?
Prima
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Hallo und guten Morgen,
aus keiner der beiden Eigenschaften folgt Stetigkeit.
Gegenbeispiel zur ersten Eigenschaft:
[mm] f(x_1,x_2)=x_1 [/mm] falls [mm] x-1\in [/mm] (-1,1)
[mm] f(1,x_2)=0 [/mm]
[mm] f(x_1,x_2)=1\slash x_1 [/mm] sonst
Dann ist f sicher nicht stetig, und [mm] \{f(x_1,x-2)|x_1,x_2\in\IR\}=(-1,1) [/mm] ist offen.
Gegenbeispiel zur zweiten Eigenschaft:
[mm] f(x_1,x_2)=x_2 [/mm] für [mm] x_1\neq [/mm] 0
[mm] f(0,x_2)=0
[/mm]
Gruss,
Mathias
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