Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Fr 29.02.2008 | | Autor: | SaV86 |
Hi, ich sitze gerade vor einem Stetigkeitsnachweis habe aber null Idee wie ich diese angehen muss.
f: [mm] \IR\to\IR,f(x)=\begin{cases} (x+2)^-^1, & \mbox{für } x\not=-2 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=-2 \mbox{} \end{cases}
[/mm]
über eine ausführliche Erklärung würde ich mich seh freuen! =)
br sav
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:07 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hi, ich sitze gerade vor einem Stetigkeitsnachweis habe
> aber null Idee wie ich diese angehen muss.
>
>
> f: [mm]\IR\to\IR,f(x)=\begin{cases} (x+2)^{-1}, & \mbox{für } x\not=-2 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } x=-2 \mbox{} \end{cases}[/mm]
>
da Du keine Idee hast, hier erstmal ein Schaubild des Graphen der Funktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
(Dass $f(-2)=0$ ist, habe ich von Hand gekennzeichnet!)
Das legt die Vermutung nahe:
$f$ ist stetig in allen [mm] $x_0 \in \IR \backslash \{-2\}$, [/mm] und $f$ ist unstetig in [mm] $x_0=-2$. [/mm] Wie Du das begründest, hängt von Eurer Definition und Deinem Wissensstand ab. Zum Beispiel kann man argumentieren:
$g: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit $x [mm] \mapsto [/mm] g(x):=x+2$ ist stetig (das nachzuweisen ist selbst mit dem [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] trivial, da man dann nur [mm] $\delta=\varepsilon$ [/mm] zu setzen braucht und damit sogar zeigt, dass $g$ glm. stetig ist). Da diese Funktion die einzige Nullstelle [mm] $x_N=-2$ [/mm] hat, ist $h: [mm] \IR \backslash\{-2\} \to \IR$ [/mm] mit [mm] $h(x):=\frac{1}{g(x)}$ [/mm] wohldefiniert und stetig (auf dem Definitionsbereich [mm] $\IR \backslash \{-2\}$) [/mm] als Quotient stetiger Funktionen (beachte: $x [mm] \mapsto [/mm] 1$ ist (glm.) stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] insbesondere also auf [mm] $\IR \backslash \{-2\}$).
[/mm]
Wegen [mm] $h=f_{|\IR \backslash\{-2\}}$ [/mm] (das letzte meint die Einschränkung von $f$ auf [mm] $\IR \backslash \{-2\}$) [/mm] ist daher [mm] $f_{|\IR \backslash\{-2\}}$ [/mm] stetig, d.h. $f$ ist stetig in allen [mm] $x_0 \in \IR \backslash\{-2\}$.
[/mm]
Und dass $f$ unstetig in [mm] $x_0=-2$ [/mm] ist, erkennt man eigentlich schon wegen [mm] $f(-2^-):=\lim_{x < -2 \mbox{ und } x \to -2}f(x)=-\infty \not=\infty=\lim_{x > -2 \mbox{ und } x \to -2}f(x)=f(-2^+)$, [/mm] denn damit ist klar, dass man die obige Funktion $h$ an der Stelle [mm] $x_0=-2$ [/mm] nicht stetig ergänzen kann (auch nicht als Funktion [mm] $\IR \to \IR \cup \{\pm \infty\}$), [/mm] und damit kann auch $f$ nicht stetig an [mm] $x_0=-2$ [/mm] sein.
(Wenn's dennoch unklar ist: Ein einfaches Argument:
Wäre $f$ stetig in [mm] $x_0=-2$, [/mm] so müsste $f(-2^-)=f(-2)=f(-2^+)$ gelten.)
Gruß,
Marcel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:21 Fr 29.02.2008 | | Autor: | SaV86 |
hey Marcel,
danke für deine Antwort. Ich muss über dein Geschriebenes erstmal nachdenken, so ganz klar is es mir immer noch nicht.
br sav
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sav,
das ist schon in Ordnung und auch gut. Wenn Dir dann noch Dinge unklar sind, dann benenne sie bitte konkret.
Es kann auch durchaus sein, dass Dir Sachen unklar sind, weil Dir das entsprechende Wissen noch nicht zur Verfügung steht. Von daher wäre es sinnvoll, wenn Du uns:
- mitteilst, wie ihr Stetigkeit definiert habt
(denn man kann hier auch die Stetigkeit per Definitionem nachweisen, Voraussetzung dafür ist allerdings, dass wir Eure Definition der Stetigkeit kennen)
- ggf. einen Link zu Eurem Skriptum zur Verfügung stellst, denn dann kann ich Dir zum Beispiel sagen, wie man das mit den nur Euch zur Verfügung stehenden Mitteln lösen kann (falls meine Argumente oben noch nicht in Eurer Vorlesung behandelt wurden)
- falls letzteres nicht möglich ist, wenigstens Eure Sätze/Lemmata etc. zur Stetigkeit wenigstens grob aufzählst (mir würde wohl schon ein Stichwort reichen: z.B.
- Stetigkeit auch mit "Folgenstetigkeit"
- Verknüpfungen, Addition, ... stetiger Funktionen sind stetig
- stetig an [mm] $x_0$ [/mm] genau dann, wenn linksseiter Grenzwert mit rechtsseitigem zusammenfällt und einer der beiden (und damit auch beide) [mm] $=f(x_0)$ [/mm] ist
.
.
....)
Was ich oben verwendet habe, ist im Wesentlichen, dass der Quotient stetiger Funktionen stetig ist (wenn die "Quotientenfunktion" überall wohldefiniert ist, man also nirgends durch $0$ teilt) und dass eine Funktion genau dann stetig in [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ist, wenn linksseiter Grenzwert mit rechtsseitigem zusammenfällt und einer der beiden (und damit auch beide) [mm] $=f(x_0)$ [/mm] ist.
Wenn Du willst, kann ich Dir auch hier die Stetigkeit der Funktion für [mm] $x_0\not=-2$ [/mm] bzw. die Unstetigkeit der Funktion für [mm] $x_0=-2$ [/mm] per Definitionem der Stetigkeit nachrechnen (dazu brauch' ich aber, wie gesagt, Eure Definition der Stetigkeit).
Ist Dir denn klar, wie man anhand des obigen Schaubildes wenigstens zur Vermutung gelangt, dass $f$ überall stetig ist, abgesehen von der Stelle [mm] $x_0=-2$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:45 So 02.03.2008 | | Autor: | SaV86 |
Also das es sich um eine stetige Funktion handel ist mir durch das angucken schon klar. Ich merke mir sehr Leihenhaft, dass es sich um eine stetige Funktion handelt, wenn man sie in einem mal , ohne absetzten zu müssen, durchzeichnen kann.
Wie ich die Stetigkeit für einen Punkt bestimme ist mir auch klar, einfach den Grenzwert der rechten Seite und den Grenzwert der linken Seite betrachten und wenn gleich , dann stetig.
Nur wie ich das allgemein für eine ganze Funktion nachweisen kann is mir unklar.
Hier erstmal das, was wir in der VL dazu geschrieben haben:
Def.: Eine Funktion f: D [mm] \subset \IR\to\IR [/mm] heißt in [mm] x_{0}\in [/mm] D stetig, falls für alle Folgen [mm] \{x_{n}\}_{n\in\IN} [/mm] aus D mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x [/mm] stets [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=f(x_{0}) [/mm] gilt.
Bemerkung: Stetigkeit bedeutet, dass Funktionsauswertung f und Grundwertbildung [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] vertauscht werden dürfen, d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})= f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n})
[/mm]
br sav
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 02.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also das es sich um eine stetige Funktion handel ist mir
> durch das angucken schon klar. Ich merke mir sehr
> Leihenhaft, dass es sich um eine stetige Funktion handelt,
> wenn man sie in einem mal , ohne absetzten zu müssen,
> durchzeichnen kann.
>
> Wie ich die Stetigkeit für einen Punkt bestimme ist mir
> auch klar, einfach den Grenzwert der rechten Seite und den
> Grenzwert der linken Seite betrachten und wenn gleich ,
> dann stetig.
jein, der linksseitige [mm] $f(x_0^-)$ [/mm] und der rechtsseitige [mm] $f(x_0^+)$ [/mm] müssen existieren, diese dann auch gleich sein (d.h. [mm] $f(x_0^+)=f(x_0^-)$) [/mm] und zudem mit [mm] $f(x_0)$ [/mm] übereinstimmen (es muss also die Gleichheit [mm] $f(x_0^+)=f(x_0^-)=f(x_0)$ [/mm] gelten, wobei diese Notation eh nur dann sinnvoll ist, wenn [mm] $f(x_0^+)$ [/mm] und [mm] $f(x_0^-)$ [/mm] existieren).
(Typisches Beispiel, wo linksseitiger und rechtsseitiger existieren und gleich sind, aber $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht stetig ist:
[mm] $f(x):=x^2$ [/mm] für $x [mm] \not=0$ [/mm] und $f(0):=1$ ist unstetig an [mm] $x_0=0$, [/mm] aber [mm] $f(x_0^+)=f(x_0^-)=0 \not=1=f(x_0)=f(0)$.)
[/mm]
Das ist hier übrigens eine "genau dann wenn" Aussage zur Stetigkeit einer Funktion $f$ an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] (sofern man sich [mm] $x_0$ [/mm] von links und rechts so nähern kann), das obige ist also nicht nur notwendig für Stetigkeit in [mm] $x_0 \in \IR$, [/mm] sondern auch hinreichend.
(Z.B. wenn [mm] $x_0 \in [/mm] [a,b]$ mit $a < b$ und $f$ auf $[a,b]$ definiert ist, gilt obige Aussage als Charakterisierung der Stetigkeit von $f$ in [mm] $x_0$.) [/mm]
> Nur wie ich das allgemein für eine ganze Funktion
> nachweisen kann is mir unklar.
>
> Hier erstmal das, was wir in der VL dazu geschrieben
> haben:
>
> Def.: Eine Funktion f: D [mm]\subset \IR\to\IR[/mm] heißt in
> [mm]x_{0}\in[/mm] D stetig, falls für alle Folgen
> [mm]\{x_{n}\}_{n\in\IN}[/mm] aus D mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x[/mm] stets
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})=f(x_{0})[/mm] gilt.
>
> Bemerkung: Stetigkeit bedeutet, dass Funktionsauswertung f
> und Grundwertbildung [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] vertauscht
> werden dürfen, d.h.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(x_{n})= f(\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n})[/mm]
>
Naja, die Unstetigkeit Deiner obigen Funktion an der Stelle [mm] $x_0=-2$ [/mm] erkennst Du damit, indem Du z.B. [mm] $x_n=-2+\frac{1}{n}$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$ [/mm] wählst. Ist Dir das klar?
Weiterhin ist $f$ stetig in allen $x > -2$. Sei nämlich $x > -2$ fest. Seien [mm] $x_n \in \IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Nun kannst Du o.E. annehmen, dass [mm] $x_n [/mm] > -2$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] gelte (andernfalls betrachte die [mm] $\frac{x-(-2)}{2}$-Umgebung [/mm] um $x$ (beachte: $x > [mm] x_0=-2$); [/mm] ab einem genügend großen $N$ fallen (wegen [mm] $x_k \to [/mm] x$ bei $k [mm] \to \infty$) [/mm] dann alle Folgeglieder [mm] $x_n$ [/mm] mit $n [mm] \ge [/mm] N$ in diese Umgebung, d.h. insbesondere dann [mm] $x_n [/mm] > -2$ für alle $n [mm] \ge [/mm] N$).
Also:
Für $x > -2$ beliebig, aber fest:
Wir können o.E. annehmen, dass [mm] $x_n [/mm] > -2$ mit [mm] $x_n \to [/mm] x$. Nun ist dann zu zeigen:
[mm] $f(x_n)=\frac{1}{x_n+2} \to [/mm] f(x)$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
D.h., Du hast nun (mit Hilfe von Grenzwertsätzen für Folgen) zu begründen, weil ja [mm] $f(x)=\frac{1}{x+2}$ [/mm] (beachte: $x$ fest und $x > -2$, also $x [mm] \not=-2$):
[/mm]
Wenn [mm] $x_n [/mm] > -2$ mit [mm] $x_n \to [/mm] x$ (wobei $x > -2$ fest), dann gilt auch:
[mm] $\frac{1}{x_n+2} \to \frac{1}{x+2}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Wenn Du das getan hast:
Du hast damit gezeigt:
Ist $x > -2$ beliebig, aber fest, so gilt für eine jede Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] mit [mm] $x_n \to [/mm] x$, dass auch [mm] $f(x_n) \to [/mm] f(x)$. Also ist $f$ stetig für alle $x > -2$.
Und analog kannst Du dann auch die Stetigkeit von $f$ für alle $x < -2$ zeigen, oder aber Du beachtest einfach (mittels kurzes nachrechnen):
$f(-2+h)=-f(-2-h)$ für jedes $h [mm] \in \IR$. [/mm] Damit kann man die Stetigkeit von $f$ für $x < -2$ auf die von $f$ für $x > -2$ zurückführen.
Gruß,
Marcel
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