Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Amy-chan |
| Aufgabe | Untersuchen sie folgende Funktionen auf Stetigkeit
a) f(x)= x [mm] +\bruch{x}{|x|} [/mm]
b) f(x)= [mm] x\wurzel{1+\bruch{1}{x²}} [/mm] |
Meine Frage wäre nun, wie überprüft man das?
Wenn die Stetigkeit zB. am Punkt 3 ..oder innerhalb eines Intervalls gefragt wäre müsste man ja schaun wie die Grenzwerte an der Stelle wären..
Aber wie funktioniert das bei dieser allgemeinen Formulierung?
Wäre schön wenn mir das jemand an a) oder b) vormachen könnte...
lg, Amy
Ich habe diese Frage in keinen anderen Foren auf keiner anderen Internetseite gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:44 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Parkan |
Hallo
Beide Funktionen sind nicht Stätig, das sieht man sofort. Du erkennst daran das in beiden Funktionen ein Bruch vorkommt und im Nenner dort ein x ist. Also müssen gleich die Alarmglocken schlagen :D. Ich meine das du sofort gucken sollst was passiert wenn du dafür 0 einsetzen tust.
Bei der ersten Funktion kämme... 1/0 und durch 0 Teilen....erklärt sich von selbst.
Bei der 2 Funktion hast du das selbe. Also sind beide Funktionen bei x0 nicht differentziebar. Keine Stätigkeit.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Amy-chan |
Danke für die Antwort..
Aber ich verstehe immernoch nicht ganz was ich denn bei so einer Aufgabe rechnen soll..
Warum soll ich denn schauen was passiert wenn man 0 einsetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für die Antwort..
> Aber ich verstehe immernoch nicht ganz was ich denn bei so
> einer Aufgabe rechnen soll..
>
> Warum soll ich denn schauen was passiert wenn man 0
> einsetzt?
ja, das ist ein wenig schlecht formuliert. Die ganze Aufgabe ist meiner Meinung nach schlecht formuliert, da der Definitionsbereich fehlt, welcher absolut unerläßlich für Stetigkeitsfragen ist.
[mm] $f(x)=x+\frac{x}{|x|}$ [/mm] ist stetig in jedem Punkt [mm] $x_0 \in \IR \setminus\{0\}$. [/mm] Warum ist das so?
Was man sich fragen kann: Ist $f$ an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig ergänzbar?
Wenn Du Dir klar machst, dass [mm] $\lim_{\substack{x \to 0\\x < 0}}f(x)=\lim_{\substack{x \to 0\\x < 0}}\left(x+\frac{x}{|x|}\right)=-1$ [/mm] und [mm] $\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}f(x)=\lim_{\substack{x \to 0\\x > 0}}\left(x+\frac{x}{|x|}\right)=+1$ [/mm] ist, sollte Dir klar sein, dass diese Funktion [mm] $\black{f}$ [/mm] an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig ergänzbar ist!
Ähnlich verhält es sich bei der zweiten Aufgabe. Die Funktion $x [mm] \mapsto x\wurzel{1+\bruch{1}{x²}}$ [/mm] ist sicherlich stetig auf dem Definitionsbereich [mm] $\IR \setminus\{0\}$. [/mm] Wenn man sich nun fragt, ob sie an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] stetig ergänzbar ist, so ist die klare Antwort: Nein!
P.S.: Die Funktion [mm] $g(x)=|x|*\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ [/mm] wäre stetig auf [mm] $\IR\setminus\{0\}$. [/mm] Würde man $g(0):=1$ setzen, dann wäre [mm] $\black{g}$ [/mm] sogar stetig (auf [mm] $\IR$). $\black{g}$ [/mm] wäre also ein Beispiel für eine stetig fortsetzbare Funktion.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:23 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Amy-chan |
Danke.. denke ich habs jetzt verstanden =)
nur noch mal zur Sicherheit:
Ich muss also nur schauen ob die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an den Definitionslücken übereinstimmen oder nicht?
lg, Amy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke.. denke ich habs jetzt verstanden =)
>
> nur noch mal zur Sicherheit:
> Ich muss also nur schauen ob die links- und rechtsseitigen
> Grenzwerte an den Definitionslücken übereinstimmen oder
> nicht?
na, du solltest schon erstmal begründen, dass beide Funktionen auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] stetig sind.
Und zwar: Sei [mm] $x_0 \in \IR \setminus\{0\}$ [/mm] beliebig, aber fest. Jetzt kommt's drauf an, was ihr für Stetigkeitsargumente verwenden dürft, wie Du dann weitermachst, um zu begründen, dass dann (das jeweilige) [mm] $\black{f}$ [/mm] stetig in [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] ist....
Die Prüfung, ob die links- und rechtsseitigen Grenzwerte an der jeweiligen (hier gleichen) Definitionslücke [mm] ($x_0=0$) [/mm] übereinstimmen, ist nur insofern relevant, wenn die Aufgabenformulierung für Euch auch beinhaltet, ob die (jeweilige) Funktion stetig ergänzbar ist.
Wenn jemand fragt: Ist $f(x)=1/x$ stetig? So gehe ich davon aus, dass der Definitionsbereich $x [mm] \not=0$ [/mm] beinhaltet und dann würde ich sofort sagen: Ja!
Z.B. wäre $f(x)=1/x$ stetig auf jeder der Mengen [mm] $\IR \setminus\{0\}$, $\IC \setminus\{0\}$, [/mm] $[-2,1[ [mm] \setminus\{0\}$...
[/mm]
Wenn man fragt: Ist $f$ stetig? Und ihr diese Frage: "Ist $f$ stetig..." auch im Sinne von "Ist $f$ (auf dem maximalen Definitionsbereich) stetig ergänzbar..." verwendet, dann wäre ich vorsichtig.
Das hängt nämlich sehr stark vom Definitionsbereich ab. Aber Deine beiden Funktionen oben kann man an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht so ergänzen, dass sie stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] werden würden.
Wie stark die ganzen Begriffe vom Definitionsbereich abhängen, erkennst Du auch so:
Betrachte nochmal $f: [mm] \IR \setminus\{0\} \to \IR$, $f(x)=x+\frac{x}{|x|}$. [/mm] Dann ist $f$ (an der Stelle [mm] $x_0=0$) [/mm] nicht stetig ergänzbar.
Betrachtest Du aber die Einschränkung dieser Funktion auf [mm] $(0,\infty)$, [/mm] also $g: [mm] (0,\infty) \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=x+\frac{x}{|x|}$. [/mm] Hier ist $g(0)$ nicht definiert. Aber an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] kann man $g$ stetig ergänzen. Und zwar mit $g(0):=1$. Natürlich ist der "neue" Definitionsbereich von $g$ dann auch nur [mm] $[0,\infty)$.
[/mm]
Man muss also wirklich sehr vorsichtig mit den Formulierungen hier sein und sich im Klaren sein, was sie genau bedeuten. Und alleine deswegen finde ich die Aufgabe schlecht formuliert, weil es unklar ist, ob es nur darum geht, ob die Funktionen oben (auf ihrem maximalen Definitionsbereich) stetig sind (dann wäre die Antwort in beiden Fällen: Ja!) oder ob die Fragestellung zudem die Zusatzfrage suggerieren soll, ob man die obigen Funktionen an der Definitionslücke so "ergänzen" kann, dass sie (dann auf [mm] $\IR$) [/mm] stetig sind. Letzteres wäre zu verneinen!
Bzw. die Fragestellung in dieser Form läßt einfach zu viel Interpretationsspielraum, denn auch die Frage der "stetigen Ergänzung" bzgl. $g$ habe ich ja oben auch nicht so durchgeführt, dass ich $g$ auf [mm] $\IR$ [/mm] (also insbesondere auf [mm] $(-\infty,0)$) [/mm] definiert hätte...
Also so gesagt: Ich würde die Aufgabenstellung hier bemängeln. Sie ist einfach zu unpräzise (es sei denn, die Sprechweise: "$f(x)=...$ stetig" wurde bei Euch so definiert, dass sie stets erkennen läßt, was hier der Definitionsbereich von $f$ sein soll).
Nichtsdestotrotz wurde ich hier so antworten:
Die erste Funktion ist auf [mm] $\IR \setminus\{0\}$ [/mm] stetig. Und dann auch hierzu den Beweis liefern.
Jetzt würde ich zusätzlich schreiben:
Diese Funktion kann nicht stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] fortgesetzt werden, da sie an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht stetig ergänzbar ist. Und jetzt den Beweis dazu.
Analoges bei der zweiten Funktion.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Fr 24.10.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
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> Beide Funktionen sind nicht Stätig, das sieht man sofort.
> Du erkennst daran das in beiden Funktionen ein Bruch
> vorkommt und im Nenner dort ein x ist. Also müssen gleich
> die Alarmglocken schlagen :D. Ich meine das du sofort
> gucken sollst was passiert wenn du dafür 0 einsetzen tust.
>
> Bei der ersten Funktion kämme... 1/0 und durch 0
> Teilen....erklärt sich von selbst.
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> Bei der 2 Funktion hast du das selbe. Also sind beide
> Funktionen bei x0 nicht differentziebar. Keine Stätigkeit.
hier gibt's eigentlich einige Mängel in Deiner Antwort. Zum einen:
Die Frage der Stetigkeit der Funktion bezieht sich (normalerweise) nur auf die Stellen, wo die Funktion auch definiert ist. Die obigen Funktionen sind sicher auf [mm] $\IR \setminus \{0\}$ [/mm] definiert und dort auch stetig (btw.: bitte nicht stätig schreiben).
Dann kann man sich aber dennoch überlegen, ob sich diese Funktionen stetig fortsetzen lassen. Dazu siehe meine anderen Antwort. (Und das hat auch nicht wirklich was mit '$x=0$ einsetzen' zu tun. )
Eine ganz schlimme Aussage finde ich, wenn jemand sagt: [mm] $\black{f}$ [/mm] ist an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nicht differenzierbar, also dort auch nicht stetig.
Gegenbeispiel:
$f(x)=|x|$ auf [mm] $\IR$ [/mm] ist stetig auf [mm] $\IR$, [/mm] also insbesondere in [mm] $x_0=0$, [/mm] aber $f(x)=|x|$ ist in [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht diff'bar.
Es gilt allerdings die Folgerung:
[mm] $\black{f}$ [/mm] nicht stetig in [mm] $x_0$ $\Rightarrow$ $\black{f}$ [/mm] nicht diff'bar in [mm] $x_0$
[/mm]
bzw. äquivalent dazu (Kontraposition!):
[mm] $\black{f}$ [/mm] diff'bar in [mm] $x_0$ $\Rightarrow$ $\black{f}$ [/mm] stetig in [mm] $x_0$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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