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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | | Es sei $f [mm] \in \IR \rightarrow \IR [/mm] ( x [mm] \mapsto \frac{x}{\sqrt{|x|+2}})$. [/mm] Geben Sie zu [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ ein [mm] $\delta>0$ [/mm] an, so dass aus $|x-2| < [mm] \delta [/mm] $ folgt $|f(x) - 1| < [mm] \epsilon$. [/mm] |
Hallo!
Da $f(2) =1$ ist, soll ich hier also die Stetigkeit an der Stelle [mm] $x_0=2$ [/mm] zeigen und kann die Betragsstriche weglassen, da [mm] $x_0=2 [/mm] > 0$ ist.
Jetzt habe ich aber Probleme, den Ausdruck [mm] $|\frac{x}{\sqrt{x+2}}-1 [/mm] |$ umzuformen und abzuschätzen, so dass ich irgendwo $|x-2| < [mm] \delta$ [/mm] einsetzen kann und meine x loswerde.
Gruß,
Palonina
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Zugegeben unschön, aber lösbar.
Aus der [mm] \delta [/mm] -Ungleichung kannst Du eine Substitution für x gewinnen (leider erst einmal mit Fallunterscheidung), die Du dann für die [mm] \varepsilon [/mm] -Ungleichung verwenden kannst, so dass Du eine Ungleichung nur in [mm] \delta, \varepsilon [/mm] bekommst.
Diese ist quadratisch und lösbar:
[mm] \delta_{1,2}=\bruch{1}{2}(\varepsilon-1)(\varepsilon+3)\pm\bruch{1}{2}(\varepsilon+1)\wurzel{\varepsilon^2+2\varepsilon+9}
[/mm]
Nur stimmt womöglich das Gleichheitszeichen nicht, und vielleicht gelten nicht beide Lösungen. Ob da jetzt >, < oder = stehen muss, und das womöglich noch verschieden für [mm] \delta_1, \delta_2 [/mm] - das musst Du dann anhand Deiner Fallunterscheidungen bzw. durch Probe ermitteln.
Viel Spaß beim Nachrechnen. Ich hoffe, ich habe keine Rechenfehler eingebaut, das passiert leider schnell, wenn ich nur nebenbei zum Rechnen komme.
Wie gesagt, unschöne Aufgabe.
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