Stetigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
| Aufgabe 1 | Bsp1:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
idee 1:
wähle (x,0) und betrachte x [mm] \to [/mm] 0 , analog für y
idee 2:
wähle zwei bel Nullfolgen [mm] a_{n}, b_{n}, [/mm] die nicht weiter spezifiziert werden und betrachte den GW, nur hier komm ich auch nicht weiter.
y ableitung jeweils analog
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| Aufgabe 2 | Bsp 2:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=2\alpha x(x^{2}+y^{2})^{\alpha -1} [/mm] , [mm] \alpha \not= [/mm] 0
fallunterscheidung für [mm] \alpha [/mm] auf [mm] (-\infty [/mm] , 1), 1, (1, [mm] \infty)
[/mm]
danach wie oben. |
Grundsätzlich habe ich teilweise noch Probleme bei der Herangehensweise der Stetigkeit in mehreren Variablen. Klar, eine Verknüpfung stetiger Fkt auf dem Def.-Bereich ist wieder stetig, genauso kann ich zeigen dass eine Fkt z.b. in 0 unstetig ist, wenn ich mir im [mm] IR^{2} [/mm] z.b. die 2 Folgen [mm] \bruch{1}{n}, \bruch{1}{n} [/mm] nehme. Aber was ist wenn eine Fkt in 0 stetig ist, wie zeige ich dann das in mehreren Veränderlichen?
beide Bsp vom [mm] \IR^{2}, [/mm] beim 2. ohne 0, nach [mm] \IR
[/mm]
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> Bsp 1:
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> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=\bruch{x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/mm]
> Bsp 2:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=2\alpha x(x^{2}+y^{2})^{\alpha -1}[/mm]
Hallo Martin,
Ich vermute, dass du dies nicht so gemeint
hast, wie du es geschrieben hast. Ist es
nicht so, dass im ersten Beispiel etwa
die Funktion
[mm] f:(x,y)\mapsto \bruch{x^{5}-4x^{3}y^{2}-xy^{4}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}
[/mm]
gegeben und dann die partiellen Ableitungen
von f gefragt sind - und dann wohl insbeson-
dere deren Verhalten im Punkt (0/0) ?
Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:44 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
nein, das ist schon richtig, ich habe bereits die partielle ableitung hingeschrieben.
die funktion lautet:
[mm] f(n)=\begin{cases} \bruch{xy(x^{2}-y^{2})}{(x^{2}+y^{2})}, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ ungleich 0 } \\ 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ gleich 0 } \end{cases}
[/mm]
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Hallo martin2,
wenn es um den Nachweis der Stetigkeit
in O(0/0) geht, brauchst du die partiellen
Ableitungen gar nicht. Du musst im vor-
liegenden Fall nur zeigen: Für jedes [mm] \varepsilon>0
[/mm]
gibt es ein [mm] \delta>0 [/mm] mit:
[mm] $\sqrt{x^2+y^2}<\delta\quad \Rightarrow\quad |f(x,y)|<\varepsilon$
[/mm]
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 So 19.07.2009 | | Autor: | martin2 |
nein, schon wieder ein missverständnis. deshalb hatte ich die fkt ja auch nich gepostet, es geht um die stetigkeit der partiellen ableitung
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Hallo Martin,
nun, die partielle Ableitung oben ist ja erstmal in $(x,y)=(0,0)$ überhaupt nicht definiert ...
Außerhalb von $(0,0)$ ist sie ersichtlich als Verknüpfung stetiger Funktionen (Polynome) stetig
Mit der Festlegung [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0):=0$ [/mm] kannst du sie stetig ergänzen.
Dass sie in $(0,0)$ tatsächlich mit der obigen Festlegung stetig ist, kannst du durch den Übergang zu Polarkoordinaten sehr schnell einsehen.
Schreibe [mm] $x:=r\cdot{}\cos(\varphi)$, $y:=r\cdot{}\sin(\varphi)$ [/mm] mit $r$ die Länge von $(x,y)$ und [mm] $\varphi$ [/mm] der Winkel, den $(x,y)$ mit der positiven x-Achse einschließt
Dann siehst du schnell, dass das Biest für [mm] $r\downarrow [/mm] 0$ unabhängig vom Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] gegen [mm] $0=\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ [/mm] geht
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
Nachtrag: die "Ergänzung" [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0):=0$ [/mm] kommt nicht von ungefähr bzw. ist nicht willkürlich; sie entspricht der partiellen Ableitung deiner Funktion $f(x,y)$ nach x an der Stelle $(0,0)$
Berechne [mm] $\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$ [/mm] ...
Das ist also nicht "gepfuscht" 
LG
schachuzipus
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> nein, schon wieder ein missverständnis. deshalb hatte ich
> die fkt ja auch nich gepostet, es geht um die stetigkeit
> der partiellen ableitung
Na, warum denn nicht gleich von Anfang
an klare Angaben darüber, was genau denn
die Aufgabe ist ?
Und: mein vorheriger Tipp klappt natürlich
genauso, wenn es um die Stetigkeit von [mm] f_x
[/mm]
statt um die von f geht.
Gruß Al-Chw.
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