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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:29 Fr 20.05.2005 | | Autor: | ThomasK |
Hallo
Ich hab folgende Aufgabe:
Wir sollen mittels [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Diskussion beweisen das
[mm] \limes_{x\rightarrow 2} x^{2} [/mm] = 4 gilt
und zu den [mm] \varepsilon [/mm] wert: 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 den jeweiligen [mm] \delta [/mm] wert ermitteln.
Ich hab das zuerst allgemein probiert:
|x + [mm] x_{0}| [/mm] = |x + [mm] x_{0} [/mm] - [mm] x_{0} [/mm] + [mm] x_{0}| [/mm] = |x + - [mm] x_{0} [/mm] + [mm] 2x_{0}| \le [/mm] |x + - [mm] x_{0}| [/mm] + [mm] |2x_{0}| [/mm] < 1 + [mm] 2|x_{0}|
[/mm]
[mm] |x^{2} [/mm] - [mm] x_{0}^{2}| [/mm] = |x + [mm] x_{0}| [/mm] + |x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Also |x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{1 + 2|x_{0}|}
[/mm]
jetzt das [mm] \delta [/mm] ermitteln [mm] \delta:=min [/mm] { [mm] 1,\bruch{\varepsilon}{1 + 2|x_{0}|} [/mm] }
draus folgt: |x - [mm] x_{0}| [/mm] < [mm] \delta \Rightarrow |x^{2} [/mm] - [mm] x_{0}^{2}| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt zurück zur Aufgabe.
[mm] x_{0} [/mm] = 2.
|x - 2| < [mm] \delta \Rightarrow |x^{2} [/mm] - 4| < [mm] \varepsilon
[/mm]
jetzt wieder das [mm] \delta [/mm] ermitteln [mm] \delta:=min [/mm] { [mm] 1,\bruch{\varepsilon}{5} [/mm] }
daraus folgt für
[mm] \varepsilon [/mm] = 0.1 ist [mm] \delta [/mm] = 0.02
[mm] \varepsilon [/mm] = 0.01 ist [mm] \delta [/mm] = 0.002
[mm] \varepsilon [/mm] = 0.001 ist [mm] \delta [/mm] = 0.0002
[mm] \varepsilon [/mm] = 0.0001 ist [mm] \delta [/mm] = 0.00002
Ist das so richtig?
LG Thomas.
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Hallo!
Für mich sieht das ziemlich richtig aus! ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Ein paar kleine Fehler sind drin, aber die sehen eher nach Tippfehlern aus...
Z.B.:
>|x + - [mm]x_{0}[/mm] + [mm]2x_{0}[/mm]|
müsste wohl eher heißen [mm] $|x-x_0+2x_0|$
[/mm]
und [mm] $|x^2-x_0^2|=|x-x_0|*|x+x_0|$ [/mm] statt
> [mm]|x^{2}[/mm] - [mm]x_{0}^{2}|[/mm] = |x + [mm]x_{0}|[/mm] + |x - [mm]x_{0}|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Gruß, banachella
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