Stetigkeit Definition < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo.
Wir haben an der Uni die Stetigkeit von Funktionen durchgenommen und ich habe ein paar Probleme mit der Definition.
Wir haben Stetigkeit folgendermaßen definiert:
Sei [mm] I\subset \IR [/mm] ein Intervall und f: I [mm] \to \IR [/mm] eine reele Funktion über I.
Dann ist f stetig in [mm] x_{0} \in [/mm] I, falls für jede konvergente Folge [mm] (x_{n}) [/mm] in I mit Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] auch die Folge [mm] (f(x_{n})) [/mm] konvergiert, und zwar mit Grenzwert [mm] f(x_{0}). [/mm] Ist f in jedem Punkt [mm] x_{0} [/mm] /in I stetig, so sagt man, dass f in I stetig ist.
Ich hoffe ich darf das reinschreiben, wenn nicht editiere ich es raus.
Aber diese Definition findt man überlicherweise auch im Internet.
Im Papula steht nun, dass eine in [mm] x_{0} [/mm] und der Umgebung von [mm] x_{0} [/mm] definierte Funktion y=f(x) an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] stetig heißt, wenn der Grenzwert an dieser Stelle vorhanden ist und mit dem dortigen Funktionswert übereinstimmt.
Zu der Definition aus der Uni:
Ich habe eine im Intervall I definierte Funktion. Funktion heißt, dass jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird.
Nun nehme ich ein beliebiges Element dieser Funktion, eben [mm] x_{0} [/mm] aus I, und schaue, dass für jede kovergente Folge in I mit Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] auch [mm] f(x_{0}) [/mm] konvergiert und zwar gegen [mm] f(x_{0}).
[/mm]
Ich finde das etwas verwirrend.
Sachen, die mich irritieren:
1. Es heißt: Bei jeder Folge [mm] x_{n} [/mm] mit Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] soll [mm] f(x_{n}) [/mm] gegen [mm] f(x_{0}) [/mm] konvergieren.
Wie soll man das bitte für jede Folge mit diesem Grenzwert nachweisen?
Nehme ich z.B als Funktion: f: x [mm] \mapsto [/mm] x mit [mm] \IR \to \IR [/mm]
Ich betrache x=1. Jede Folge [mm] x_{n} [/mm] mit Grenzwert 1 soll [mm] f(x_{n})= [/mm] f(1) als Grenzwert haben.
Nun gibt es doch aber unendlich viele Folgen, die gegen 1 konvergieren.
(Irgendwelche fallenden/steigenden Folgen, die auf 1 stoßen und ab dort konstant verlaufen, oder sich unter/über 1 schmiegen).
Demnach müsste man für jede dieser Folgen ja die Konvergenz nachweisen?
Und auch der Satz: falls für jede konvergente Folge, auch die Folge [mm] (f(x_{0}) [/mm] macht mir etwas zu schaffen.
-> Ich habe es so verstanden, dass eine bestimmte Folge [mm] x_{n} [/mm] als Grenzwert [mm] x_{0} [/mm] hat und das genau diese Folge bezogen auf die Funktion f d.h [mm] f(x_{n}) [/mm] gegen [mm] f(x_{0}) [/mm] konvergiert.
Nehme ich f: [mm] \IR \to \IR [/mm] | x [mm] \mapsto x^2
[/mm]
und als zu untersuchenden Wert x=2
Als Folge die gegen 2 konvergiert kann ich ja bspw. [mm] x_{n}=2 [/mm] nehmen.
Für diese, wie auch jede andere Folge, die gegen 2 konvergiert, muss gelten
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=4 [/mm] oder wie?
Problem bei beiden Definitionen ist, dass ich mir unter den Definitionen nicht viel vorstellen kann, bzw. nicht vorstellen kann, inwiefern die Stetigkeit (Funktion zeichnen, ohne Stift abzusetzen) damit erklärt wird.
Letztendlich betrachte ich bestimmte Werte einer Funktion und schaue, dass der Wert für unendlich viele Folgen der Grenzwert ist und für jede dieser Folgen, die Folgen [mm] f(x_{n}) [/mm] gegen [mm] f(x_{0}) [/mm] also f(Grenzwert) konvergieren.
Ich kann mir aber bildlich nicht vorstellen, inwiefern das diese Zeichnen ohne Stift absetzen erklären soll.
Ich weiß, dass der Text lang ist, aber ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Viele Grüße und danke :)
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Hi Masseltof,
> Hallo.
>
> Wir haben an der Uni die Stetigkeit von Funktionen
> durchgenommen und ich habe ein paar Probleme mit der
> Definition.
>
> Wir haben Stetigkeit folgendermaßen definiert:
>
> Sei [mm]I\subset \IR[/mm] ein Intervall und f: I [mm]\to \IR[/mm] eine reele
> Funktion über I.
> Dann ist f stetig in [mm]x_{0} \in[/mm] I, falls für jede
> konvergente Folge [mm](x_{n})[/mm] in I mit Grenzwert [mm]x_{0}[/mm] auch die
> Folge [mm](f(x_{n}))[/mm] konvergiert, und zwar mit Grenzwert
> [mm]f(x_{0}).[/mm] Ist f in jedem Punkt [mm]x_{0}[/mm] /in I stetig, so sagt
> man, dass f in I stetig ist.
>
> Ich hoffe ich darf das reinschreiben, wenn nicht editiere
> ich es raus.
> Aber diese Definition findt man überlicherweise auch im
> Internet.
Jo, das ist kein Problem.
>
> Im Papula steht nun, dass eine in [mm]x_{0}[/mm] und der Umgebung
> von [mm]x_{0}[/mm] definierte Funktion y=f(x) an der Stelle [mm]x_{0}[/mm]
> stetig heißt, wenn der Grenzwert an dieser Stelle
> vorhanden ist und mit dem dortigen Funktionswert
> übereinstimmt.
Das ist die selbe Definition wie weiter oben, nur in anderen Worten.
>
> Zu der Definition aus der Uni:
> Ich habe eine im Intervall I definierte Funktion. Funktion
> heißt, dass jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet
> wird.
> Nun nehme ich ein beliebiges Element dieser Funktion, eben
> [mm]x_{0}[/mm] aus I, und schaue, dass für jede kovergente Folge
> in I mit Grenzwert [mm]x_{0}[/mm] auch [mm]f(x_{0})[/mm] konvergiert und zwar
> gegen [mm]f(x_{0}).[/mm]
>
> Ich finde das etwas verwirrend.
>
> Sachen, die mich irritieren:
> 1. Es heißt: Bei jeder Folge [mm]x_{n}[/mm] mit Grenzwert [mm]x_{0}[/mm]
> soll [mm]f(x_{n})[/mm] gegen [mm]f(x_{0})[/mm] konvergieren.
> Wie soll man das bitte für jede Folge mit diesem
> Grenzwert nachweisen?
Das wird in den meisten Fällen auch nicht möglich sein. Es gibt allerdings Funktionen, in denen du tatsächlich den Grenzwert aller Folgen bestimmen kannst, wie z.b. die konstante Funktion $ f(x) = c $. Es ist $ [mm] f(x_n) [/mm] = c $ für alle konvergenten Folgen $ [mm] x_n \in [/mm] I $
Trotzdem ist gerade diese Definition wichtig, um z.B. durch Widerspruch zu zeigen, dass eine Funktion an einer stelle nicht stetig ist.
> Nehme ich z.B als Funktion: f: x [mm]\mapsto[/mm] x mit [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
> Ich betrache x=1. Jede Folge [mm]x_{n}[/mm] mit Grenzwert 1 soll
> [mm]f(x_{n})=[/mm] f(1) als Grenzwert haben.
> Nun gibt es doch aber unendlich viele Folgen, die gegen 1
> konvergieren.
> (Irgendwelche fallenden/steigenden Folgen, die auf 1
> stoßen und ab dort konstant verlaufen, oder sich
> unter/über 1 schmiegen).
> Demnach müsste man für jede dieser Folgen ja die
> Konvergenz nachweisen?
Die von dir gewählte Identitätsfunktion $ f(x) = x $ ist doch ein gutes Beispiel, um zu sehen, dass das Folgenkriterium hier schon Früchte trägt.
Sei $ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] $, dann gilt wegen $ [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] x_n [/mm] $ dass $ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $
Also ist die Funktion $ f $ in allen Punkten $ x [mm] \in [/mm] I $ stetig.
>
> Und auch der Satz: falls für jede konvergente Folge, auch
> die Folge [mm](f(x_{0})[/mm] macht mir etwas zu schaffen.
>
> -> Ich habe es so verstanden, dass eine bestimmte Folge
> [mm]x_{n}[/mm] als Grenzwert [mm]x_{0}[/mm] hat und das genau diese Folge
> bezogen auf die Funktion f d.h [mm]f(x_{n})[/mm] gegen [mm]f(x_{0})[/mm]
> konvergiert.
>
> Nehme ich f: [mm]\IR \to \IR[/mm] | x [mm]\mapsto x^2[/mm]
> und als zu
> untersuchenden Wert x=2
> Als Folge die gegen 2 konvergiert kann ich ja bspw.
> [mm]x_{n}=2[/mm] nehmen.
> Für diese, wie auch jede andere Folge, die gegen 2
> konvergiert, muss gelten
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_{n})=4[/mm] oder wie?
Du wählst zunächst einen Punkt, in dem du die Stetigkeit untersuchen möchtest. Also wie vorgeschlagen $ [mm] x_0 [/mm] = 2 $
D.h. wir setzen voraus, dass $ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] = [mm] 2^2 [/mm] = 4 $ oder anders geschrieben $ [mm] x_n \underbrace{\to}_{n \to \infty} [/mm] 4 $
Jetzt muss (!) für die Funktion $ g(x) = [mm] x^2 [/mm] $ (ich wähle $ g $ um Verwechslungen mit der oben definierten Funktion $ f $ auszuschließen) gelten, dass
$ [mm] \lim g(x_n) [/mm] = [mm] g(x_0) [/mm] = g(2) = [mm] 2^2 [/mm] = 4 $
Mit der von dir gewählten konstanten Folge $ [mm] x_n [/mm] = 2 $ funktioniert das z.b.
Wie du sicherlich weißt, ist die Funktion $ g $ in jedem Punkt stetig, also wirst du keine Folge finden, für die das Folgenkriterium unerfüllt bleibt.
Aber jetzt mal ganz allgemein:
Die Definition "Eine Funktion $ g $ ist stetig im Punkt $ [mm] x_0 [/mm] $ ihres Definitionsbereichs $ [mm] \gdw x_n \to x_0 \Rightarrow g(x_n) \to g(x_0) [/mm] $ gilt". ist mMn auch gerade anschaulich gut zu begreifen.
Mach dir doch mal eine Skizze einer ganz offensichtlich unstetigen Funktion in einem bestimmten Punkt, wie z.b.
$ g(x) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \le 0 \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases} [/mm] $
(unbedingt kurz skizzieren)
Und nun wähle eine Folge von rechts z.B., die gegen $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ konvergiert.
Es gilt dann $ [mm] x_n \to [/mm] 0 $ aber $ [mm] g(x_n) [/mm] = [mm] \infty \not= [/mm] g(0) = 1 $
Also ist sie im Punkt $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ nicht stetig.
>
> Problem bei beiden Definitionen ist, dass ich mir unter den
> Definitionen nicht viel vorstellen kann, bzw. nicht
> vorstellen kann, inwiefern die Stetigkeit (Funktion
> zeichnen, ohne Stift abzusetzen) damit erklärt wird.
>
> Letztendlich betrachte ich bestimmte Werte einer Funktion
> und schaue, dass der Wert für unendlich viele Folgen der
> Grenzwert ist und für jede dieser Folgen, die Folgen
> [mm]f(x_{n})[/mm] gegen [mm]f(x_{0})[/mm] also f(Grenzwert) konvergieren.
> Ich kann mir aber bildlich nicht vorstellen, inwiefern das
> diese Zeichnen ohne Stift absetzen erklären soll.
>
> Ich weiß, dass der Text lang ist, aber ich hoffe, dass ihr
> mir helfen könnt.
>
> Viele Grüße und danke :)
Ich hoffe, dass dir das hilft.
Wenn Dinge unklar sind, einfach Rückmeldung geben.
Grüße
ChopSuey
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Hallo und danke für die Antwort.
Du schreibst:
Die von dir gewählte Identitätsfunktion $ f(x) = x $ ist doch ein gutes Beispiel, um zu sehen, dass das Folgenkriterium hier schon Früchte trägt.
Sei $ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] $, dann gilt wegen $ [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] x_n [/mm] $ dass $ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $
Ist hier in dieser Definition [mm] x_{n} [/mm] als jeglich mögliche Folge zu betrachten, für die [mm] \lim{x_{n}}=x_{0} [/mm] gilt? Also steht das [mm] x_{n} [/mm] für eine definierte Folge, oder ist dieses [mm] x_{n} [/mm] allgemein zu betrachten?
Habe ich die Folgerung von dir richtig aufgefasst?:
$ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0 [/mm] $ -> [mm] =f(x_{0})
[/mm]
Es gilt ja f(x)=x daraus folgt [mm] f(x_{n})=x_{n} [/mm] daraus folgt [mm] lim{f(x_{n})}=lim{x_{n}}
[/mm]
[mm] lim{x_{n}}=x_{0} [/mm] D.h also [mm] lim{f(x_{n})}=x_{0} [/mm]
Und daraus schlussfolgert man [mm] f(x_{0})=x_{0}, [/mm] da f(x)=x ist.
Zu:
Du wählst zunächst einen Punkt, in dem du die Stetigkeit untersuchen möchtest. Also wie vorgeschlagen $ [mm] x_0 [/mm] = 2 $
D.h. wir setzen voraus, dass $ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] x_0^2 [/mm] = [mm] 2^2 [/mm] = 4 $ oder anders geschrieben $ [mm] x_n \underbrace{\to}_{n \to \infty} [/mm] 4 $
Annahme: lim [mm] x_{n}=2=x_{0}
[/mm]
[mm] f(x_{n})=x_{n}^2
[/mm]
[mm] \to lim(f(x_{n}))=lim{x_{n}}^2=2^2=4
[/mm]
[mm] f(2)=2^2=4
[/mm]
Kann ich das auch so schreiben?
zu: ->
$ g(x) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \le 0 \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases} [/mm] $
(unbedingt kurz skizzieren)
Und nun wähle eine Folge von rechts z.B., die gegen $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ konvergiert.
Es gilt dann $ [mm] x_n \to [/mm] 0 $ aber $ [mm] g(x_n) [/mm] = [mm] \infty \not= [/mm] g(0) = 1 $
Also ich habe mir die Funktion vorgestellt:
Bis zur 0 ist die Funktion konstant 1 (von der linken Seite aus gesehen), ab allen x>0 erhält man eine gegen 0 laufende Funktion.
Wobei das Intervall (0,1] von unendlich großen Werten zur 1 läuft.
Folge gegen 0 konvergierend:
[mm] \lim(x_{n})=0 [/mm] so muss gelten, dass [mm] \lim(f(x_{n}) [/mm] konvergiert und zwar mit Grenzwert f(0)=1, damit die Funktion stetig ist.
f(0)=1
[mm] \lim(x_{n})=0 [/mm] ->
Hier hänge ich dann:
Ich weiß nicht so recht auf was ich das f beziehen soll.
[mm] x_{n} [/mm] ist eine Folge, definiert mit [mm] n\in\IN [/mm] , daher wäre eine solche Folge bspw: [mm] \bruch{1}{x^2}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^2}=0
[/mm]
Die Wertemenge von f ist 1 für [mm] x\le [/mm] 0 und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x>0.
Wie beziehe ich dieses f denn auf [mm] x_{n}-> f(\bruch{1}{x^2})= [/mm] 1 für x [mm] \le [/mm] 0 und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] für x>0 oder wie?
Ich kann gerade nicht mehr klar denken.
Über Hilfe wäre ich dankbar.
Grüße
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Moin,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Du schreibst:
>
> Die von dir gewählte Identitätsfunktion [mm]f(x) = x[/mm] ist doch
> ein gutes Beispiel, um zu sehen, dass das Folgenkriterium
> hier schon Früchte trägt.
>
> Sei [mm]\lim x_n = x_0 [/mm], dann gilt wegen [mm]f(x_n) = x_n[/mm] dass [mm]\lim f(x_n) = \lim x_n = x_0 = f(x_0)[/mm]
>
> Ist hier in dieser Definition [mm]x_{n}[/mm] als jeglich mögliche
> Folge zu betrachten, für die [mm]\lim{x_{n}}=x_{0}[/mm] gilt? Also
> steht das [mm]x_{n}[/mm] für eine definierte Folge, oder ist dieses
> [mm]x_{n}[/mm] allgemein zu betrachten?
Naja, wir haben $ f(x) = x $ für alle $ x [mm] \in [/mm] I $ (Definitionsbereich)
ALso auch $ [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] x_n [/mm] $ für alle $ [mm] x_n \in [/mm] I \ \ [mm] (\*) [/mm] $
Wählst du also eine beliebige Folge $ [mm] x_n [/mm] $ mit Grenzwert $ [mm] x_0 [/mm] $, wie z.B: $ [mm] x_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} \to [/mm] 0 $
Dann gilt doch wegen $ [mm] (\*) [/mm] $, dass [mm] $\lim f(x_n) [/mm] = [mm] \lim \frac{1}{n} [/mm] = [mm] \lim f(\frac{1}{n}) [/mm] = 0 $
Jetzt klarer?
>
> Habe ich die Folgerung von dir richtig aufgefasst?:
> [mm]\lim f(x_n) = \lim x_n = x_0 [/mm] -> [mm]=f(x_{0})[/mm]
Das versteh ich nicht. Für die Funktion $ f(x) = x $ gilt ganz einfach (da die Funktionswerte immer den Urbildern entsprechen), dass $ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] \lim f(x_n) [/mm] $ und deswegen für jede konvergente Folge $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] $ gilt, dass $ [mm] f(x_n) \to x_0 [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] $
>
> Es gilt ja f(x)=x daraus folgt [mm]f(x_{n})=x_{n}[/mm] daraus folgt
> [mm]lim{f(x_{n})}=lim{x_{n}}[/mm]
> [mm]lim{x_{n}}=x_{0}[/mm] D.h also [mm]lim{f(x_{n})}=x_{0}[/mm]
> Und daraus schlussfolgert man [mm]f(x_{0})=x_{0},[/mm] da f(x)=x
> ist.
Korrekt.
>
> Zu:
> Du wählst zunächst einen Punkt, in dem du die Stetigkeit
> untersuchen möchtest. Also wie vorgeschlagen [mm]x_0 = 2[/mm]
>
> D.h. wir setzen voraus, dass [mm]\lim x_n = x_0^2 = 2^2 = 4[/mm]
> oder anders geschrieben [mm]x_n \underbrace{\to}_{n \to \infty} 4[/mm]
>
> Annahme: lim [mm]x_{n}=2=x_{0}[/mm]
> [mm]f(x_{n})=x_{n}^2[/mm]
> [mm]\to lim(f(x_{n}))=lim{x_{n}}^2=2^2=4[/mm]
> [mm]f(2)=2^2=4[/mm]
Wir fordern, dass ganz einfach wenn $ [mm] x_n \to x_0 [/mm] = 2$ gilt, bitte auch $ [mm] f(x_n) \to f(x_0) [/mm] = f(2) $ gilt.
Und in diesem Fall gilt diese Implikation für alle $ x [mm] \in [/mm] I $.
>
> Kann ich das auch so schreiben?
>
> zu: ->
> [mm]g(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \le 0 \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> (unbedingt kurz skizzieren)
>
> Und nun wähle eine Folge von rechts z.B., die gegen [mm]x_0 = 0[/mm]
> konvergiert.
>
> Es gilt dann [mm]x_n \to 0[/mm] aber [mm]g(x_n) = \infty \not= g(0) = 1[/mm]
>
> Also ich habe mir die Funktion vorgestellt:
> Bis zur 0 ist die Funktion konstant 1 (von der linken
> Seite aus gesehen), ab allen x>0 erhält man eine gegen 0
> laufende Funktion.
> Wobei das Intervall (0,1] von unendlich großen Werten zur
> 1 läuft.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Folge gegen 0 konvergierend:
> [mm]\lim(x_{n})=0[/mm] so muss gelten, dass [mm]\lim(f(x_{n})[/mm]
> konvergiert und zwar mit Grenzwert f(0)=1, damit die
> Funktion stetig ist.
> f(0)=1
> [mm]\lim(x_{n})=0[/mm] ->
>
> Hier hänge ich dann:
> Ich weiß nicht so recht auf was ich das f beziehen soll.
> [mm]x_{n}[/mm] ist eine Folge, definiert mit [mm]n\in\IN[/mm] , daher wäre
> eine solche Folge bspw: [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^2}=0[/mm]
>
> Die Wertemenge von f ist 1 für [mm]x\le[/mm] 0 und [mm]\bruch{1}{x}[/mm]
> für x>0.
>
> Wie beziehe ich dieses f denn auf [mm]x_{n}-> f(\bruch{1}{x^2})=[/mm]
> 1 für x [mm]\le[/mm] 0 und [mm]\bruch{1}{x}[/mm] für x>0 oder wie?
>
> Ich kann gerade nicht mehr klar denken.
> Über Hilfe wäre ich dankbar.
Du warst schon fast am Ziel. Die von dir gewählte Funktion ist auch passend gewählt.
Also wir wählen $ [mm] x_n [/mm] = [mm] \dfrac{1}{x^2} [/mm] $. Es gilt $ [mm] \lim x_n [/mm] = [mm] \lim \dfrac{1}{x^2} [/mm] = 0 $
Wenn $ f $ in dem zu untersuchenden Punkt $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ stetig sein soll, muss jetzt (für jede Folge, also auch für diese hier) gelten, dass $ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] = f(0) =: 1 $ gilt.
Warum $ f(0) = 1 $ ? So ist die Funktion eben definiert.
Mal sehen, was passiert:
$ [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] \dfrac{1}{x_n} \underbrace{=}_{x_n = 1/x^2} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{\frac{1}{x^2}} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] $
Und ganz offensichtlich ist $ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] \lim f(\frac{1}{x^2}) [/mm] = [mm] \lim x^2 \not=0 [/mm] = [mm] \lim x_n [/mm] $
Also ist das Folgenkriterium verletzt und die Funktion $ f $ im Punkt $ 0 $ nicht stetig.
Ich wollte dir damit ganz einfach zeigen, dass das Folgenkriterium ein wichtiges Hilfsmittel ist, um schnell und effizient nachweisen zu können, dass du an einer "anschaulich offensichtlichen" Stelle durch Widerspruch auch formell beweisen kannst, dass eine Funktion in einem gewissen Punkt nicht stetig ist.
>
> Grüße
Ruhig fragen, wenn noch was unklar ist.
Grüße
ChopSuey
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Hallo und danke für die Antwort.
Bis:
Wenn $ f $ in dem zu untersuchenden Punkt $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ stetig sein soll, muss jetzt (für jede Folge, also auch für diese hier) gelten, dass $ [mm] \lim f(x_n) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] = f(0) =: 1 $ gilt.
denke ich es verstanden zu haben.
Nur: $ [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] \dfrac{1}{x_n} \underbrace{=}_{x_n = 1/x^2} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{\frac{1}{x^2}} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] $ finde ich verwirrend.
Mir fällt gerade auf, dass es wohl besser wäre die Folge [mm] x_{n}=\bruch{1}{x^2} [/mm] als [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] zu definieren, wobei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gilt und daraus [mm] lim{x_{n}}=x_{0} [/mm] folgt.
Dann noch folgendes:
Ich dachte f definiert x auf [mm] \bruch{1}{x} [/mm] wenn 0>x ist.
Jedoch ist [mm] f(x_{n} [/mm] doch nur definiert auf das Intervall I.
Also sogesehen ist ja nicht bekannt was [mm] f(x_{n}) [/mm] ist, womit auch die Funktion f mit 1 und [mm] \bruch{1}{x} [/mm] nicht auf die Folge bestimmt werden kann, oder?
Anders beschreiben warum gilt in :
$ [mm] f(x_n) [/mm] = [mm] \dfrac{1}{x_n} \underbrace{=}_{x_n = 1/x^2} [/mm] = [mm] \dfrac{1}{\frac{1}{x^2}} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] $
[mm] f(x_{n})=\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
Viele Grüße und danke im Voraus.
Ps: Wenn ich mit so einer Definition Probleme habe, ist dies ein Zeichen dafür, dass ich mathematisch unbegabt bin?
Ich bekomme langsam Selbstzweifel in Betracht meiner Eignung eines Nawi-Stuidums.....
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hallo,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Bis:
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> Wenn [mm]f[/mm] in dem zu untersuchenden Punkt [mm]x_0 = 0[/mm] stetig sein
> soll, muss jetzt (für jede Folge, also auch für diese
> hier) gelten, dass [mm]\lim f(x_n) = f(x_0) = f(0) =: 1[/mm] gilt.
>
> denke ich es verstanden zu haben.
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> Nur: [mm]f(x_n) = \dfrac{1}{x_n} \underbrace{=}_{x_n = 1/x^2} = \dfrac{1}{\frac{1}{x^2}} = x^2[/mm]
> finde ich verwirrend.
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> Mir fällt gerade auf, dass es wohl besser wäre die Folge
> [mm]x_{n}=\bruch{1}{x^2}[/mm] als [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] zu definieren,
> wobei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gilt und daraus
> [mm]lim{x_{n}}=x_{0}[/mm] folgt.
[mm] f(x)=\frac{1}{x^2} [/mm] ist nicht stetig for x=0...
> Dann noch folgendes:
> Ich dachte f definiert x auf [mm]\bruch{1}{x}[/mm] wenn 0>x ist.
> Jedoch ist [mm]f(x_{n}[/mm] doch nur definiert auf das Intervall
> I.
> Also sogesehen ist ja nicht bekannt was [mm]f(x_{n})[/mm] ist,
> womit auch die Funktion f mit 1 und [mm]\bruch{1}{x}[/mm] nicht auf
> die Folge bestimmt werden kann, oder?
>
> Anders beschreiben warum gilt in :
> [mm]f(x_n) = \dfrac{1}{x_n} \underbrace{=}_{x_n = 1/x^2} = \dfrac{1}{\frac{1}{x^2}} = x^2[/mm]
>
> [mm]f(x_{n})=\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}}[/mm]
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> Viele Grüße und danke im Voraus.
>
> Ps: Wenn ich mit so einer Definition Probleme habe, ist
> dies ein Zeichen dafür, dass ich mathematisch unbegabt
> bin?
> Ich bekomme langsam Selbstzweifel in Betracht meiner
> Eignung eines Nawi-Stuidums.....
>
Nein, der eine lernt schneller, der andere langsamer. ich brauche auch immer etwas zeit um definitionen zu verinnerlichen und damit zusammenhängende sätze anzuwenden.
lg
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Hallo und danke für die Antwort.
Das gibt mir etwas Hoffnung.
$ [mm] f(x)=\frac{1}{x^2} [/mm] $ ist nicht stetig for x=0...
Mir ist klar, dass [mm] \bruch{1}{0^2} [/mm] ein undef. mathematischer Ausdruck ist und demnach 0 in [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] eine Polstelle ist.
Jedoch ist [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] auch die konvergente Folge, die eben gegen 0 läuft.
Und definiert man [mm] x_{n} [/mm] mit [mm] x_{n}={1}{n^2} [/mm] wobei [mm] n\in\I_{\IN} [/mm] ist (also n ist Element der natürlichen Zahlen im Intervall I), so läuft
[mm] \lim{\bruch{1}{x^2}=0=x_{0}}.
[/mm]
Dies soll Vorraussetzung für [mm] \lim{f(x_{n})}={f(x_{0})}
[/mm]
Jedoch verstehe ich nicht warum [mm] f(x_{n})=\bruch{1}{x}=\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] ist.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke im Voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:53 Sa 11.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo und danke für die Antwort.
> Das gibt mir etwas Hoffnung.
>
> [mm]f(x)=\frac{1}{x^2}[/mm] ist nicht stetig for x=0...
>
> Mir ist klar, dass [mm]\bruch{1}{0^2}[/mm] ein undef. mathematischer
> Ausdruck ist und demnach 0 in [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] eine Polstelle
> ist.
> Jedoch ist [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] auch die konvergente Folge, die
> eben gegen 0 läuft.
Was ist los ? Merkwürdiger Satz ....
> Und definiert man [mm]x_{n}[/mm] mit [mm]x_{n}={1}{n^2}[/mm]
Meinst Du [mm] x_n= n^2 [/mm] oder [mm] x_n=1/n^2 [/mm] ??
> wobei
> [mm]n\in\I_{\IN}[/mm] ist (also n ist Element der natürlichen
> Zahlen im Intervall I), so läuft
>
> [mm]\lim{\bruch{1}{x^2}=0=x_{0}}.[/mm]
??????????????????
>
> Dies soll Vorraussetzung für [mm]\lim{f(x_{n})}={f(x_{0})}[/mm]
Was soll das jetzt ?
>
> Jedoch verstehe ich nicht warum
> [mm]f(x_{n})=\bruch{1}{x}=\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}}[/mm] ist.
Das ist doch Quatsch, warum sollte das gelten ?
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> Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Das ist schwer ...........................
FRED
>
> Danke im Voraus.
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Hallo.
Da habe ich wohl zu hastig geschrieben. Entschuldigt dies bitte.
Ich gehe die Punkte einzelln durch:
MontBlanc schrieb:
$ [mm] f(x)=\frac{1}{x^2} [/mm] $ ist nicht stetig for x=0...
Meine Antwort ist folgende:
[mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] soll eine konvergente Folge darstellen.
Denn wir wollen ja die Stetigkeit beweisen.
Damit eine Funktion vollständig stetig ist, soll ja gelten, dass jedes x(was man als [mm] x_{0} [/mm] bezeichnet) dieser Funktion als Grenzwert, einer jeder beliebigen Folge [mm] x_{n} [/mm] gilt.
D.h ich bestimme unendlich viele Folgen und für jede dieser folgen gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}.
[/mm]
Das ist die 1. Vorraussetzung für Stetigkeit.
Als 2. Vorraussetzung soll gelten:
Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0} [/mm] so konvergiert auch die Folge [mm] (f(x_{n})) [/mm] und zwar mit Grenzwert [mm] f(x_{0}).
[/mm]
Das sind die vorangegangenen Definitionen.
Jetzt geht man jedoch davon aus, dass eine Funktion bspw. folgendermaßen definiert ist:
f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
x [mm] \mapsto x^2
[/mm]
Definiert man eine Folge mit [mm] \bruch{1}{x^2}=x_{n} [/mm] so nimmt die Folge ja Zahlen aus den Definitionsbereichen von [mm] \IZ; \IQ; \IR [/mm] an da ja [mm] \IR \to \IR [/mm] als Funktion definiert ist.
Da wir gelernt haben (ich weiß jedoch nicht inwiefern das richtig ist), dass Folgen nur Zahlen aus dem Definitionsbereich von [mm] \IN [/mm] annehmen dürfen, wollte ich meine Folge [mm] x_{n} [/mm] eben als [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] definieren, wobei [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
Da ja $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x_{0}. [/mm] $ gilt, gilt für die Folge [mm] x_{n}=\bruch{1}{n^2}:
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^2}=0=x_{0}
[/mm]
[mm] x_{0} [/mm] stellt wie gesagt die Stelle der Funktions dar, die wir auf Stetigkeit untersuchen wollen.
Wie gesagt ist eine Vorraussetzung der Stetigkeit, dass man einen Definitionswert nimmt [mm] (x_{0}) [/mm] und unendlich viele Folgen bestimmt, für die gilt, dass sie gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergieren.
2. Voraussetzung war: [mm] \lim{f(x_{n})}=f(x_{0})
[/mm]
Sobald eine Folge gegen einen Definitionswert konvergiert, so gilt, dass die Funktion f: angewendet auf die Folge [mm] x_{n} [/mm] gegen einen Wert konvergiert.(genau: [mm] \lim{f(x_{n})})
[/mm]
Dieser Wert ist definiert als die Funktion f angewendet auf den Definitionswert.
[mm] (genau:f(x_{0}))
[/mm]
Damit sollte:
Dies soll Vorraussetzung für $ [mm] \lim{f(x_{n})}={f(x_{0})} [/mm] $
Was soll das jetzt ?
Geklärt sein.
Und zu:
$ [mm] f(x_{n})=\bruch{1}{x}=\bruch{1}{\bruch{1}{x^2}} [/mm] $ ist.
Das ist genau, dass was ChopSuey in seinem 2.Beitrag beschrieben hat und was ich nicht verstehe.
Ich hoffe meine Frage ist nun klarer geworden.
Viele Grüße und danke für die Mühe.
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Hi nochmal,
vergiss' das mal mit der Folge über $ [mm] \IN, \IQ, \IZ [/mm] $ und sortier deine Gedanken etwas.
Du hast eine reellwertige Funktion $ f: X [mm] \subseteq \IR \to \IR [/mm] $ mit
$ f(x) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \le 0 \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases} [/mm] $
Das ist eine nicht besonders spannende Funktion, die im Punkt $ [mm] x_0 [/mm] = 0 $ nicht stetig ist. Warum? Weil sie dort ganz einfach "zerissen" ist.
Das wollen wir nun beweisen.
Vergiss' auch das was du bzgl Haupt- und Nebenbedingung formuliert hast.
Definition:
$ f $ stetig in $ [mm] x_0 \gdw \forall x_n \to x_0 \Rightarrow f(x_n) \to f(x_0) [/mm] $
Wir wissen (weil wir den Graphen vor Augen haben), dass unser $ f $ nicht stetig ist in $ 0 $ und das zeigen wir nun.
Wir wählen eine Funktion von rechts, die gegen Null konvergiert. Also eine Nullfolge, deren Glieder allesamt positiv sind.
Wähle $ x':= [mm] \dfrac{1}{x_n} [/mm] $
Es gilt $ [mm] \dfrac{1}{x_n} \to [/mm] 0 $
Es ist $ f(x') [mm] =f\left(\dfrac{1}{x_n}\right) [/mm] = [mm] x_n [/mm] $ (setze die folge $ [mm] 1/x_n [/mm] $ in die Funktion $ f $ ein)
Es gilt $ [mm] f\left(\dfrac{1}{x_n}\right) [/mm] = [mm] x_n \to \infty [/mm] $
Es hätte für die Stetigkeit aber gelten müssen, dass $ [mm] f(\dfrac{1}{x_n}) \to [/mm] f(0) =: 1 $
Die Funktion hat nunmal an der Stelle $f(0) $ per Definition den Wert $ = 1 $.
Was ist nun noch unklar?
Grüße
ChopSuey
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Hallo und danke für die Antwort.
Was mich an der Aufgabe stört ist folgendes:
f(x) ist hast du in deinem 2. Post definiert als:
$ g(x) = [mm] \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \le 0 \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases} [/mm] $
Wenn ich jetzt die Folge [mm] x_{n} [/mm] einsetzen möchte, so gibt es 2 Möglichkeiten, welche Werte sie annehmen kann.
Eben [mm] f(x_{n})=1 [/mm] oder [mm] f(x_{n})=\bruch{1}{\bruch{1}{x_{n}}}.
[/mm]
Ich gehe davon aus, dass wir [mm] f(x_{n})=\bruch{1}{\bruch{1}{x_{n}}}=x_{n} [/mm] wählen, da wir ja gesagt haben, dass wir von rechts kommen.
Habe ich das richtig verstanden?
Grüße
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Moin,
> Hallo und danke für die Antwort.
>
> Was mich an der Aufgabe stört ist folgendes:
>
> f(x) ist hast du in deinem 2. Post definiert als:
> [mm]g(x) = \begin{cases} 1, & \mbox{für } x \le 0 \\ \frac{1}{x}, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt die Folge [mm]x_{n}[/mm] einsetzen möchte, so gibt
> es 2 Möglichkeiten, welche Werte sie annehmen kann.
> Eben [mm]f(x_{n})=1[/mm] oder
> [mm]f(x_{n})=\bruch{1}{\bruch{1}{x_{n}}}.[/mm]
Das hängt eben davon ab, wie deine Folge gewählt wird. Es wird doch streng zwischen positiven und negativen $ x [mm] \in \IR [/mm] $ unterschieden.
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> Ich gehe davon aus, dass wir
> [mm]f(x_{n})=\bruch{1}{\bruch{1}{x_{n}}}=x_{n}[/mm] wählen, da wir
> ja gesagt haben, dass wir von rechts kommen.
Genau deshalb.
>
> Habe ich das richtig verstanden?
>
> Grüße
Grüße
ChopSuey
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