Stetigkeit, Differenzierbarkei < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Di 15.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
| Aufgabe | An welchen Stellen x [mm] \in \IR [/mm] ist
f(x) [mm] =\begin{cases} e^{2x}-2x, & x \ge 0 \\ cos(x^{2} +2x), & -1 \le x < 0 \\ -2e^{sin(x)},& x < -1 \end{cases}
[/mm]
stetig? An welchen Stellen ist f differenzierbar? Bestimmen Sie f'(x) an diesen Stellen. |
Guten Tag,
habe hier folgendes gemacht, ich würde mich freuen wenn jemand mal einen Blick drauf werfen würde:
Die Funktionen [mm] f_{1}: [/mm] (0, [mm] +\infty) [/mm] -> [mm] \IR, f_{1}(x) [/mm] = [mm] e^{2x}-2x, f_{2}: [/mm] (-1,0) -> [mm] \IR, f_{2}(x) [/mm] = [mm] cos(x^{2}+2x) [/mm] und
[mm] f_{3}: [/mm] (- [mm] \infty, [/mm] -1) -> [mm] \IR, f_{3}(x) [/mm] = [mm] -2e^{sin(x)} [/mm] sind als Kompositionen differenzierbarer Funktionen differenzierbar. [mm] (\*)
[/mm]
Es gilt:
[mm] f_{1}': [/mm] (0, + [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR, f_{1}'(x) [/mm] = [mm] e^{2x}-2
[/mm]
[mm] f_{2}': [/mm] (-1, 0) -> [mm] \IR, f_{2}'(x) [/mm] = [mm] -2sin(x^{2}+2x)(x+1)
[/mm]
[mm] f_{3}': [/mm] (- [mm] \infty,-1) [/mm] -> [mm] \IR, f_{3}'(x) [/mm] = [mm] -2e^{sin(x)}cos(x)
[/mm]
Die Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ist in [mm] x_{0} [/mm] = 0, weil f:[0, [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] stetig ist und
[mm] \limes_{h\rightarrow 0_{h<0}} [/mm] f(h+0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0_{h<0}} cos(h^{2}+2h) [/mm] = cos(0) = 1 = f(0) = [mm] \limes_{h\rightarrow 0_{h>0}} [/mm] f(h+0). [mm] (\* \*)
[/mm]
Also ist f in [mm] x_{0} [/mm] wegen [mm] (\*) [/mm] und [mm] (\* \*) [/mm] stetig.
Die Funktion f ist an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] = -1 unstetig, weil
[mm] \limes_{h\rightarrow 0_{h<0}} [/mm] f(h-1) = [mm] -2e^{sin(1)} \not= [/mm] cos(-1) = f(-1).
Also ist die Funktion im Intervall (-1, [mm] +\infty) [/mm] stetig.
Wir definieren [mm] f_{-}:(-1,0]-> \IR, f_{-}(x) [/mm] = [mm] cos(x^{2}+2x)
[/mm]
und [mm] f_{+}: [/mm] [0, + [mm] \infty) [/mm] -> [mm] \IR, f_{+}(x) [/mm] = [mm] e^{2x}-2x.
[/mm]
Wir erhalten:
0 = [mm] f_{-}'(0) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}_{h<0} \bruch{f_{-}(h+0)-f_{-}(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}_{h<0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h} [/mm] ( [mm] \* \* \* [/mm] )
0 = [mm] f_{+}'(0) [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}_{h>0} \bruch{f_{+}(h+0)-f_{+}(0)}{h} [/mm] = [mm] \limes_{h\rightarrow 0}_{h>0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h} [/mm] ( [mm] \* \* \* \*)
[/mm]
Wegen ( [mm] \* \* \* [/mm] ) = 0 = ( [mm] \* \* \* \*) [/mm] existiert die Ableitung f'(0) in [mm] x_{0} [/mm] = 0 mit f'(0) = 0.
Deshalb und wegen ( [mm] \* [/mm] ) existiert f': (-1 , [mm] +\infty) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit
f'(x) = [mm] \begin{cases} 2e^{2x}-2, &
x \ge 0 \\ -2(x+1)sin(x^{2} +2x), & -1 < x < 0 \end{cases}
[/mm]
Ist das so richtig? Was ist falsch? Was lässt sich sowohl inhaltlich als auch formal verbessern?
LG Loriot95
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Hallo Loriot,
> An welchen Stellen x [mm]\in \IR[/mm] ist
>
> f(x) [mm]=\begin{cases} e^{2x}-2x, & x \ge 0 \\ cos(x^{2} +2x), & -1 \le x < 0 \\ -2e^{sin(x)},& x < -1 \end{cases}[/mm]
>
> stetig? An welchen Stellen ist f differenzierbar? Bestimmen
> Sie f'(x) an diesen Stellen.
> Guten Tag,
>
> habe hier folgendes gemacht, ich würde mich freuen wenn
> jemand mal einen Blick drauf werfen würde:
>
> Die Funktionen [mm]f_{1}:[/mm] (0, [mm]+\infty)[/mm] -> [mm]\IR, f_{1}(x)[/mm] =
> [mm]e^{2x}-2x, f_{2}:[/mm] (-1,0) -> [mm]\IR, f_{2}(x)[/mm] = [mm]cos(x^{2}+2x)[/mm]
> und
> [mm]f_{3}:[/mm] (- [mm]\infty,[/mm] -1) -> [mm]\IR, f_{3}(x)[/mm] = [mm]-2e^{sin(x)}[/mm] sind
> als Kompositionen differenzierbarer Funktionen
> differenzierbar. [mm](\*)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Es gilt:
>
> [mm]f_{1}':[/mm] (0, + [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR, f_{1}'(x)[/mm] = [mm]\red{2}e^{2x}-2[/mm]
> [mm]f_{2}':[/mm] (-1, 0) -> [mm]\IR, f_{2}'(x)[/mm] = [mm]-2sin(x^{2}+2x)(x+1)[/mm]
> [mm]f_{3}':[/mm] (- [mm]\infty,-1)[/mm] -> [mm]\IR, f_{3}'(x)[/mm] = [mm]-2e^{sin(x)}cos(x)[/mm]
>
> Die Funktion f: [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR[/mm] ist in [mm]x_{0}[/mm] = 0, weil f:[0,
> [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR[/mm] stetig ist und [mm]\limes_{h\rightarrow 0_{h<0}}[/mm] f(h+0) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0_{h<0}} cos(h^{2}+2h)[/mm] = cos(0) = 1 = f(0) = [mm]\limes_{h\rightarrow 0_{h>0}}[/mm] f(h+0).
> [mm](\* \*)[/mm]
Das durchgestrichene gehört an dieser Stelle nicht zur Begründung.
>
> Also ist f in [mm]x_{0}[/mm] wegen [mm](\*)[/mm] und [mm](\* \*)[/mm] stetig.
>
> Die Funktion f ist an der Stelle [mm]x_{0}[/mm] = -1 unstetig, weil
> [mm]\limes_{h\rightarrow 0_{h<0}}[/mm] f(h-1) = [mm]-2e^{sin(\red{-}1)} \not=[/mm]
> cos(-1) = f(-1).
>
> Also ist die Funktion im Intervall (-1, [mm]+\infty)[/mm] stetig.
>
> Wir definieren [mm]f_{-}:(-1,0]-> \IR, f_{-}(x)[/mm] =
> [mm]cos(x^{2}+2x)[/mm]
> und [mm]f_{+}:[/mm] [0, + [mm]\infty)[/mm] -> [mm]\IR, f_{+}(x)[/mm] = [mm]e^{2x}-2x.[/mm]
Wozu diesen Umweg?
Betrachte einfach links und rechtsseitigen GW und zeige (wie unten), dass sie übereinstimmen.
Desto mehr Symbole man einführt, desto leichter geht der Überblick verloren.
>
> Wir erhalten:
>
> 0 = [mm]f_{-}'(0)[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}_{h<0} \bruch{f_{-}(h+0)-f_{-}(0)}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}_{h<0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] ( [mm]\* \* \*[/mm]
> )
>
>
> 0 = [mm]f_{+}'(0)[/mm] = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}_{h>0} \bruch{f_{+}(h+0)-f_{+}(0)}{h}[/mm]
> = [mm]\limes_{h\rightarrow 0}_{h>0} \bruch{f(h+0)-f(0)}{h}[/mm] ( [mm]\* \* \* \*)[/mm]
hier könntest du die links und rechtsseitige Grenzwerte aber schon nochmal hinschreiben, soll heißen, wie du in die Funktionen einsetzt.
>
> Wegen ( [mm]\* \* \*[/mm] ) = 0 = ( [mm]\* \* \* \*)[/mm] existiert die
> Ableitung f'(0) in [mm]x_{0}[/mm] = 0 mit f'(0) = 0.
>
> Deshalb und wegen ( [mm]\*[/mm] ) existiert f': (-1 , [mm]+\infty)[/mm] ->
> [mm]\IR[/mm] mit
> f'(x) = [mm]\begin{cases} 2e^{2x}-2, &
x \ge 0 \\ -2(x+1)sin(x^{2} +2x), & -1 < x < 0 \end{cases}[/mm]
Die Ableitung ex. natürlich auch für x<-1, hast du ja oben hingeschrieben.
>
>
> Ist das so richtig? Was ist falsch? Was lässt sich sowohl
> inhaltlich als auch formal verbessern?
>
> LG Loriot95
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:55 Mi 16.03.2011 | | Autor: | Loriot95 |
Vielen Dank.
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