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Hallo
Habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Ich muss diese Funktion auf Stetigkeit und Diffbarkeit untersuchen:
f: [mm] \|R [/mm] -> |R mit f(x) = [mm] xsin\bruch{1}{x} [/mm] für alle x != 0 und f(0) = 0.
Zur Diffbarkeit habe ich gesagt dass
h(x) := x diffbar auf ganz [mm] \|R
[/mm]
i(x) := sin(x) diffbar auf ganz [mm] \|R
[/mm]
j(x) := 1/x diffbar auf ganz [mm] \|R [/mm] ohne {0}
damit ist dann auch k(x) := (i [mm] \circ [/mm] j)(x) diffbar auf [mm] \|R [/mm] ohne {0}
damit ist dann auch f(x) = h(x) * k(x) diffbar auf [mm] \|R [/mm] ohne {0}
für f'(x) ergibt sich: f'(x) = sin(1/x) - cos(1/x)*1/x
Ist noch de Punkt [mm] x_0 [/mm] = 0 zu untersuchen.
Mit dem Differentialqotienten ergibt sich:
= lim(h->0) sin1/h
ich sehe nicht ganz wogegen der jetzt konvergiert??
Ich vermute dass der grenzwert alternier und damit nicht diffbar ist?
aber wie zeige ich das?
und dann muss ich noch die Stetigkeit im punkt 0 zeigen. da hier für den rechts und linksseiten grenzwert dasselbe rauskommt müsste f in 0 stetig sein.
is das richtig?
bitte um einen kleinen Tipp
mfg thomas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Sa 20.01.2007 | | Autor: | Thomas85 |
ich bitte nur um ein kurzes statement ob die überolegungen richtig sind.
wäre woirklich sehr hilfreich für mich
mfg thomas
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Stimmt alles.
Und für [mm]h \to 0+0[/mm] gilt ja [mm]\frac{1}{h} \to \infty[/mm]. Wegen der Periodizität der Sinusfunktion wird also jeder Wert zwischen -1 und 1 unendlich oft angenommen. Wie du richtig gesagt hat, oszilliert daher [mm]\sin{\frac{1}{h}}[/mm] in einer Umgebung von 0. Vom Grenzwert also weit und breit keine Spur ...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 22.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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