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Forum "Stetigkeit" - Stetigkeit(Epsilon-Delta)
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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:30 Sa 08.07.2006
Autor: nathenatiker

Aufgabe
1) Beweisen sie mit Hilfe des [mm] \varepsilon- \delta-Kriteriums, [/mm] dass f:R->R, f(x)=  [mm] \bruch{1}{x^{2}+1} [/mm] stetig (auf ganz R) ist.

2)Untersuchen sie folgende Funktion auf Stetigkeit:
f:R->R, f(x)=min{|x-m||m [mm] \in \IN [/mm] }

Hallo,

ich habe leider noch große Probleme beim Beweisen von Stetigkeit, daher frag ich mal hier nach:

zu 1) Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 , dann gilt  für alle x mit [mm] |a^{2}-x^{2}| [/mm] < [mm] \delta [/mm]

|f(x)-f(a)| = [mm] |\bruch{1}{x^{2}+1}-\bruch{1}{a^{2}+1}| [/mm]
= [mm] |\bruch{a^{2}-x^{2}}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm] < [mm] |\bruch{\delta}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm] = [mm] \delta [/mm] * [mm] |\bruch{1}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm]

jetzt weiss ich leider nicht wie ich weiterkomme.

2)Hier habe ich leider keine Ahnung wie ich rangehen soll.

Hoffe daher dass mir jemand helfen kann.

MFG

Nathenatiker

        
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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:20 So 09.07.2006
Autor: nathenatiker

Hallo,

noch mal zur Aufgabe 2:

Ich habe mir jetzt erst mal nur überlegt, wie ich |x| auf Stetigkeit überprüfe, und denke auch, dass ich es geschafft habe zu zeigen,
kann ich das jetzt irgendwie auf diese Aufgabe übertragen?
ist z [mm] \in \IN [/mm] nicht fest?dann dürfte das doch gar keine Rolle spielen, dass heisst doch dann quasi nur das |x| um den faktor z verschoben wird, oder?

gruß

nathenatiker

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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:10 Mo 10.07.2006
Autor: chmanie

Hey, das sieht schon nicht schlecht aus. Schau dir den Zähler und den Nenner im letzten Schritt genau an, überlege ob du den Betrag weglassen kannst und versuche, nach einer größeren Konstanten abzuschätzen (vielleicht kürzen).

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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:59 Mo 10.07.2006
Autor: nathenatiker

Hallo,

also wenn ich das jetzt weiter führe:
$ [mm] \delta [/mm] $ * $ [mm] |\bruch{1}{a^{2}\cdot{}x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}| [/mm] $
die Beträge kann ich weglassen, sieht man ja ziemlich deutlich,
=$ [mm] \delta [/mm] $ * $ [mm] \bruch{1}{a^{2}\cdot{}x^{2}+a^{2}+x^{2}+1} [/mm] $
<  [mm] |a^{2}-x^{2}| [/mm] * $ [mm] \bruch{1}{a^{2}\cdot{}x^{2}+a^{2}+x^{2}+1} [/mm] $
So, jetzt hab ich leider ein problem mit der Abschätzung, kann man es nso machen?
<  [mm] |a^{2}-x^{2}| [/mm] * $ [mm] \bruch{1}{(a^{2}\cdot{}x^{2})(|a^{2}-x^{2}|)}$ [/mm]
=  $ [mm] \bruch{1}{(a^{2}\cdot{}x^{2})}$ [/mm]  <  [mm] \varepsilon [/mm] .

ich bin mir nicht sicher nit der Abschätzung, könnte mir jemand eine bessere Abschätzung geben, oder ist das was ich bis jetzt gemacht habe überhaupt richtig.

MFG

Nathenatiker

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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Mo 10.07.2006
Autor: chmanie

[mm] |x-x_{0}| [/mm] * [mm] \bruch{1}{a^2*x^2+a^2+x^2+1} \le |x-x_{0}| [/mm] * [mm] \bruch{a^2*x^2+a^2+x^2+1}{a^2*x^2+a^2+x^2+1} [/mm] = [mm] |x-x_{0}| [/mm] * 1

Wähle also [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm] und du bist fertig.
Anmerkung: Gezeigt wurde hier gleichmäßige stetigkeit auf [mm] \IR[/mm]

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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:40 Mo 10.07.2006
Autor: nathenatiker

ok, jetzt hab ichs auch, danke!

aber hat noch jemand ideen oder Anmerkungen zu Aufgabe 2)???

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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:52 Mi 12.07.2006
Autor: mathiash

Hallo und guten Morgen,

zur (b):

[mm] f(x)=\min\{\: |x-m|\:\: |\:\: m\in\IN\} [/mm]

      = |x|+1 für [mm] x\leq [/mm] 0 (falls [mm] \IN=\{1,2,3,\ldots\} [/mm]
    
      bzw. = |x| für [mm] x\leq [/mm] 0 falls [mm] \IN=\{0,1,2,3,\ldots\} [/mm]   (je nachdem, wie man's notiert)

und  ebenso kommt da ne Fallunerscheidung für [mm] x\in [/mm] [0,1],

aber jedenfalls f(1)=0 und für [mm] x\geq [/mm] 1

f(x)= [mm] \lceil x\rceil-x,\:\: |x-\lceil x\rceil [/mm] | [mm] \leq [/mm] 0.5

[mm] f(x)=x-\lfloor x\rfloor, \:\: x-\lfloor x\rfloor \leq [/mm] 0.5

dieses ist eine auf den Intervallen [n,n+0.5] sowie auf den Intervallen [mm] [n+0.5,n+1],\: n\in\IN_0 [/mm]

sowie auf ganz  [mm] \IR_{\leq 0} [/mm] stetige Funktion, man muss das nur zB fuer die Intervallinneren argumentieren (dort ist f schlicht
aus stetigen Fkt. durch stetigkeitserhaltende Operationen zusammengesetzt), und dann muss man noch zeigen, dass f an den Intervallgrenzen
stetig ist, das kannst Du aber leicht (sozusagen: f ''von links kommend'' gleich ''f von rechts kommend''.

Gruss,

Mathias


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Stetigkeit(Epsilon-Delta): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:23 Mi 12.07.2006
Autor: Walde

hi Robert,

ich hätte da noch einen Einwand:

> 1) Beweisen sie mit Hilfe des [mm]\varepsilon- \delta-Kriteriums,[/mm]
> dass f:R->R, f(x)=  [mm]\bruch{1}{x^{2}+1}[/mm] stetig (auf ganz R)
> ist.
>  Hallo,
>  
> ich habe leider noch große Probleme beim Beweisen von
> Stetigkeit, daher frag ich mal hier nach:
>  
> zu 1) Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dann gilt  für alle x mit
> [mm]|a^{2}-x^{2}|[/mm] < [mm]\delta[/mm]

Nein, du hast erst mal nur [mm] |x-a|<\delta [/mm]

>  
> |f(x)-f(a)| = [mm]|\bruch{1}{x^{2}+1}-\bruch{1}{a^{2}+1}|[/mm]
>  = [mm]|\bruch{a^{2}-x^{2}}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}|[/mm] <
> [mm]|\bruch{\delta}{a^{2}*x^{2}+a^{2}+x^{2}+1}|[/mm]

deswegen ist diese Abschätzung meiner Meinung nach falsch, denn [mm] |a^2-x^2|=|x-a|*|x+a| [/mm] ist nicht unbedingt <|x-a|

Oder hab ich grad ein Brett vorm Kopf?

L G walde  


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