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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Smex |
| Aufgabe | (a) Sei f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine stetige Funktion mit f(x) [mm] \to \pm \infty [/mm] für x [mm] \to \pm \infty
[/mm]
Zeigen Sie: f ist surjektiv
Folgern Sie: Jedes reelle Polynom ungerader Ordnung hat eine reelle Nullstelle
(b) Sei I [mm] \subset \IR [/mm] ein Intervall und sei f: I [mm] \to \IR [/mm] eine stetige Funktion
Zeigen Sie: f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] f streng monoton |
Hi,
zu (a): Kann mir hier vielleicht erstmal jemand logisch erklären, warum das so sein sollte? Ich glaube hier liegt nämlich mein Problem, ich verstehe nicht wirklich warum das so sein sollte.
zu (b): ist das nicht irgendwie trivial? Ich meine wenn für die injektivität gilt, dass aus [mm] x_1 \not= x_2 [/mm] folgt, dass [mm] f(x_1) \not= f(x_2) [/mm] ist, dann folgt daraus doch direkt schon, dass f streng monoton sein muss, oder??
Vielen Dank
Gruß Smex
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> (a) Sei f: [mm]\IR \to \IR[/mm] eine stetige Funktion mit f(x) [mm]\to \pm \infty[/mm]
> für x [mm]\to \pm \infty[/mm]
> Zeigen Sie: f ist surjektiv
> Folgern Sie: Jedes reelle Polynom ungerader Ordnung hat
> eine reelle Nullstelle
>
> (b) Sei I [mm]\subset \IR[/mm] ein Intervall und sei f: I [mm]\to \IR[/mm]
> eine stetige Funktion
> Zeigen Sie: f ist injektiv [mm]\gdw[/mm] f streng monoton
> Hi,
>
> zu (a): Kann mir hier vielleicht erstmal jemand logisch
> erklären, warum das so sein sollte? Ich glaube hier liegt
> nämlich mein Problem, ich verstehe nicht wirklich warum das
> so sein sollte.
Hallo,
Du hast eine Funktion, die stetig ist auf [mm] \IR. [/mm] Also ohne Lücke.
Für sehr große x geht sie gegen [mm] \infty, [/mm] für "sehr negative" x gegen [mm] -\infty.
[/mm]
Hat diese Funktion eine Chance, ein y [mm] \in \IR [/mm] als Funktionswert auszulassen?
Kann es sein, daß diese Funktion z.B. den Funktionswert 5 nicht annimmt?
>
> zu (b): ist das nicht irgendwie trivial?
Mit dem Wörtchen "trivial" wäre ich sehr vorsichtig...
Es ist für die, die voll durchblicken, und es hat die unangenehme Eigenschaft, daß es gewisse Leute herausfordert, einem so richtig auf den Zahn zu fühlen. Nicht jeder schätzt das in jeder Situation...
Die Aussage stimmt, soviel steht fest.
> Ich meine wenn für
> die injektivität gilt, dass aus [mm]x_1 \not= x_2[/mm] folgt, dass
> [mm]f(x_1) \not= f(x_2)[/mm] ist, dann folgt daraus doch direkt
> schon, dass f streng monoton sein muss, oder??
Nein, aus der Injektivität allein folgt das keinesfalls.
Schau Dir die Funktion g: [mm] \{1,2,3\} [/mm] to [mm] \{1,2,3\} [/mm] an mit g(1):=2 g(2):=3 g(3):=1.
Die ist injektiv, aber nicht monoton wachsend.
Oder nehmen wir h:[0,1] [mm] \to \IR
[/mm]
mit [mm] h(x):=\begin{cases} x+5, & \mbox{für } 0\le x\le \bruch{3}{4} \mbox{ } \\ x, & \mbox{für } \bruch{3}{4}
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Smex |
Aber ich habe ja noch die Zusatzinformation, dass die Funktion stetig ist. Und dann wird es schon schwieriger eine Funktion zu finden die injektiv, aber nicht streng monoton ist. Denn deine Beispielfunktion g ist ja wohl nicht stetig, wenn g(3) = 1, aber g(1) = 2 und g(2) = 3 und wenn sie doch stetig ist, dann kann sie ja nicht injektiv sein, oder hab ich jetzt irgendwas übersehen?
Gruß Smex
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> Aber ich habe ja noch die Zusatzinformation, dass die
> Funktion stetig ist.
Ja. Das ist übrigens nicht die einzige Zusatzinformation, die Du hast.
> Und dann wird es schon schwieriger
> eine Funktion zu finden die injektiv, aber nicht streng
> monoton ist. Denn deine Beispielfunktion g ist ja wohl
> nicht stetig,
Doch. Sie ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich.
> wenn g(3) = 1, aber g(1) = 2 und g(2) = 3 und
> wenn sie doch stetig ist, dann kann sie ja nicht injektiv
> sein,
Na! An der Injektivität gibt's ja wohl nichts zu zweifeln!
Falls wir uns falsch verstanden haben sollten: meine Beispiele sollen keine sein, die die Behauptung widerlegen. Die Behauptung gilt. Die Beispiele sollen zeigen, daß die Aussage nicht sooo "trivial" ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Sa 19.01.2008 | | Autor: | Smex |
> Falls wir uns falsch verstanden haben sollten: meine
> Beispiele sollen keine sein, die die Behauptung widerlegen.
> Die Behauptung gilt. Die Beispiele sollen zeigen, daß die
> Aussage nicht sooo "trivial" ist.
Das war schon klar, ich verstehe jetzt auch meinen Denkfehler^^. Ich hatte mir noch nicht so ganz klar gemacht, dass die Funktion nur auf der Menge mit 1,2,3 definiert ist. Aber dann verstehe ich nicht so ganz, wie ich den Beweis führen soll, also dass eine streng monotone Funktion auch Injektiv ist ist ja klar, aber die andere Richtung??
Gruß Smex
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> Aber dann verstehe ich nicht so ganz, wie
> ich den Beweis führen soll, also dass eine streng monotone
> Funktion auch Injektiv ist ist ja klar, aber die andere
> Richtung??
Hallo,
Du willst also zeigen, daß unter den gegebenen Voraussetzungen
injektiv ==> streng monoton gilt.
Du könntest das mit einem Beweis per Widerspruch versuchen.
Nimm an, die Funktion wäre injektiv und nicht monoton.
Nicht monoton bedeutet: ...
Dann solltest Du Dich unter den einschlägigen Sätzen für stetige Funktionen ein bißchen umschauen.
Gruß v. Angela
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