Stetigkeit/Partielle Dif-bark. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 Mo 21.09.2009 | | Autor: | boozy |
| Aufgabe | Sei die Funktion [mm] g:\IR2\to\IR [/mm] definiert durch:
[mm] g(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{x*y}{x^{4}*y^{2}}, & \mbox{wenn }x,y\mbox{ nicht gleich Null} \\
0, & \mbox{wenn }x,y\mbox{ gleich Null}
\end{matrix}\right.
[/mm]
Untersuche diese Funktion auf Stetigkeit und partielle Differenzierbarkeit. Welche sind differenzierbar? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute, es ist schön hier zu sein!
Ich habe diese Frage
Ich habe die Lösung vor mir liegen, werde daraus aber nicht schlau!
Zuerst mal grundlegende Fragen:
-Was ist eine Komposition differenzierbarer Funktionen?
Unser Tutor hat das so gemacht:
Eine Folge ( [mm] (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] ) konvergiert gegen (0,0), aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} g(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n}) [/mm] = 1 [mm] \not=0=g(0,0)
[/mm]
d.h. g ist in (0,0) unstetig, und somit nicht differenzierbar.
-Warum darf ich einfach eine Folge "erfinden" und einsetzen und dann noch behaupten dass sie
unstetig ist?
Danach haben wir überprüft ob es partielle Ableitungen an der Stelle (0,0) gibt.
-Warum an der Stelle (0,0)?
Die beiden Ergebnisse der partiellen Ableitungen waren 0.
-Was sagt mir das???
Kann mir bitte jemand helfen und vielleicht die "Grundschritte" für die überprüfung ausführlich erklären, ich komm sonst irgendwie nicht weiter ;(
Vielen herzlichen Dank!
boozy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:47 Mo 21.09.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei die Funktion [mm]g:\IR2\to\IR[/mm] definiert durch:
>
> [mm]g(x,y)=\left\{\begin{matrix}
\bruch{x*y}{x^{4}*y^{2}}, & \mbox{wenn }x,y\mbox{ nicht gleich Null} \\
0, & \mbox{wenn }x,y\mbox{ gleich Null}
\end{matrix}\right.[/mm]
>
>
>
> Untersuche diese Funktion auf Stetigkeit und partielle
> Differenzierbarkeit. Welche sind differenzierbar?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi Leute, es ist schön hier zu sein!
>
> Ich habe diese Frage
> Ich habe die Lösung vor mir liegen, werde daraus aber
> nicht schlau!
>
> Zuerst mal grundlegende Fragen:
> -Was ist eine Komposition differenzierbarer Funktionen?
Schau mal hier:
http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_(Mathematik)
>
>
> Unser Tutor hat das so gemacht:
>
> Eine Folge ( [mm](\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm] ) konvergiert
> gegen (0,0), aber [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} g(\bruch{1}{n},\bruch{1}{n})[/mm]
> = 1 [mm]\not=0=g(0,0)[/mm]
?????????????????????
Kann es sein, dass Deine Funktion so lautet:
$ [mm] g(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{x\cdot{}y}{x^{4}+y^{2}}, & \mbox{wenn }(x,y)\mbox{ nicht gleich Null} \\ 0, & \mbox{wenn }(x,y)\mbox{ gleich Null} \end{matrix}\right. [/mm] $ ?
> d.h. g ist in (0,0) unstetig, und somit nicht
> differenzierbar.
>
> -Warum darf ich einfach eine Folge "erfinden" und einsetzen
> und dann noch behaupten dass sie
> unstetig ist?
g ist in (0,0) stetig [mm] \gdw [/mm] für jede Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] mit [mm] (x_n,y_n) \to [/mm] (0,0) gilt:
[mm] g((x_n,y_n)) \to [/mm] g(0,0).
Wenn Du also eine spezielle Folge [mm] ((x_n,y_n)) [/mm] mit [mm] (x_n,y_n) \to [/mm] (0,0) findest, für die [mm] g((x_n,y_n)) [/mm] nicht gegen g(0,0) konv., so ist in (0,0) nicht stetig
>
> Danach haben wir überprüft ob es partielle Ableitungen an
> der Stelle (0,0) gibt.
>
> -Warum an der Stelle (0,0)?
Vielleicht war die Frage:
(*) ist g in (0,0) partiell differenzierbar ?
>
> Die beiden Ergebnisse der partiellen Ableitungen waren 0.
>
> -Was sagt mir das???
Die Antwort auf die Frage in (*) ist: ja.
FRED
>
> Kann mir bitte jemand helfen und vielleicht die
> "Grundschritte" für die überprüfung ausführlich
> erklären, ich komm sonst irgendwie nicht weiter ;(
>
>
> Vielen herzlichen Dank!
> boozy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:34 Mo 21.09.2009 | | Autor: | boozy |
Danke Fred für die schnelle Antwort!
$ [mm] g(x,y)=\left\{\begin{matrix} \bruch{x\cdot{}y}{x^{4}+y^{2}}, & \mbox{wenn }(x,y)\mbox{ nicht gleich Null} \\ 0, & \mbox{wenn }(x,y)\mbox{ gleich Null} \end{matrix}\right. [/mm] $
Ups, sorry das war mein Fehler, du hast recht, die Funktion soll so lauten!
Nochmal zu der Frage für die partielle Differenzierbarkeit:
-Warum untersuche ich gerade die partielle Differenzierbarkeit in den Punkten (0,0)?
-Was wäre wenn bei den partiellen Ableitungen nicht bei beiden 0 herauskommen würde, würden sie
dann nicht existieren?
Darf ich das ganze Prozedere der Differenzierbarkeit (für dieses Bspl) kurz zusammenfassen:
Ich sehe mir zuerst die Funktion an der Stelle [mm] (x,y)\not=0 [/mm] an. Da sehe ich dass es nur Polynome sind und diese werde durch nichts gestört, also folgere ich daraus, dass die Funktion stetig (nach alter Hausfrauenart also in einer Linie durchzuzeichnen geht).
Zusätzlich sehe ich noch dass sie differenzierbar ist, weil das ein einfach Bruch mit Polynomen ist und der ganz bestimmt differenzierbar ist.
Aus diesen beiden Schlussfolgerungen weiß ich dass für alle Stellen an denen [mm] (x,y)\not=0 [/mm] die Funktion partiell differenzierbar ist.
Jetzt zum Punkt (x,y)=0 an dem die Funktion 0 wird.
Wie du schon im oberen Teil gesehen hast, hat er einfach eine Folge genommen und diese eingesetzt.
Was mir jetzt kopfzerbrechen bereitet, wenn ich eine Folge "erfinde" muss diese Folge dann immer gegen 0 gehen oder ist das nur hier so, weil wir die Stelle (x,y)= 0 untersuchen??
Als er dann die "erfundene" Folge in unsere Funktion eingesetzt hat und den Limes bildete kam 1 heraus.
- Ich hoffe ich habe das richtig gesehen, dass wenn 0 herausgekommen wäre, die Funktion in dem Punkt stetig gewesen wäre, weil wir ja gerade die Stelle g(0,0)=0 gerade untersuchen, oder?
Ich weiß, Fragen über Fragen, aber du glaubst mir gar nicht wie dankbar ich für jede Antwort bin!
Vielen Dank,ben
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Warum es Sinn macht, die Diff'barkeit im Punkt 0 zu untersuchen hast du ja selbst schon begründet.
"Jetzt zum Punkt (x,y)=0 an dem die Funktion 0 wird.
Wie du schon im oberen Teil gesehen hast, hat er einfach eine Folge genommen und diese eingesetzt.
Was mir jetzt kopfzerbrechen bereitet, wenn ich eine Folge "erfinde" muss diese Folge dann immer gegen 0 gehen oder ist das nur hier so, weil wir die Stelle (x,y)= 0 untersuchen?? "
Es gibt da ein Folgenkriterium für Stetigkeit.
http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit
Wenn du die Stelle 0 untersuchst, dann muss für JEDE Folge die gegen NULL konvergiert, auch der Funktionswert gegen 0 konvergieren.
Die "erfundene" Folge stellt also ein GEGENBEISPIEL dar.
"- Ich hoffe ich habe das richtig gesehen, dass wenn 0 herausgekommen wäre, die Funktion in dem Punkt stetig gewesen wäre, weil wir ja gerade die Stelle g(0,0)=0 gerade untersuchen, oder? "
Nicht unbedingt, dann wäre das Gegenbeispiel kein Gegenbeispiel. Das bedeutet aber nicht, dass es kein Gegenbeispiel gibt.
Nur weil der Funktionswert dieser einen Nullfolge gegen null konvergiert, heisst das nicht, dass die Funktionswerte ALLER Nullfolgen gegen null konvergieren muss.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mo 21.09.2009 | | Autor: | boozy |
DANKE Awakening für deine Antwort...das Thema ist nicht so ganz das meine, aber du hast mir weiterhelfen können!
Ich könnte zu diesem Thema 100000000 Fragen stellen.....!
Kannst du mir vielleicht noch kurz ein, zwei Sachen erkären, und zwar:
- Bei meinem Beispiel, wenn ich die partiellen Ableitungen (also die Funktion einmal nach x
und einmal nach y) bilde, was kann ich dann mit dem Ergebnis anfangen, was kann ich daraus alles sagen?
- Genau das selbe wenn ich die Funktion partiell differenzier, was kann ich aus dem Ergebnis sagen (z.B wie bei mir wenn
beide 0 ergeben?)
Ich DANKE dir für deine Hilfe!!
mfg ben
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:13 Di 22.09.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dir unter Stetigkeit und dann noch von 2d fkt nen durchgezogene Linie vorzustellen ist nicht gut. es gibt viele stetige fkt, die man nicht durchgehend zeichnen koennte.
Wenn die partiellen Ableitungen existieren, dann hast du z. bsp in x- richtung ne bekannte Steigung der Flaeche, die durch die fkt dargestellt wird.lokal hast du also in x-Richtung die X Achse als Teil der Flaeche.
Gruss leduart
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