Stetigkeit auf FUnktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: Jede Funktion h: R²->R der Form h(x,y)=g(x,y) * (xy/(x²+y²)) für x² + y² und h(0,0) ist stetig, wenn g stetig mit g(0,0) = 0. |
Hallo,
meine Idee für den Beweis ist Folgende:
Fall 1: x!=0 oder y!=0
Da Kompositionen stetiger Funktion wieder stetig ist, genügt es, die Stetigkeit für l(x,y)=(xy/(x²+y²)) zu zeigen.
Hier ist mein erstes Problem - ich beiße mir gerade an der epsilon-delta-Umformung die Zähne aus. Kann mir da jemand helfen?
Fall 2: x=0 und y=0
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}h(x,y) [/mm] = h(0,0) = 0
[mm] \Rightarrow [/mm] Stetigkeit in (0,0)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Cosmo,
> Man zeige: Jede Funktion h: R²->R der Form h(x,y)=g(x,y) *
> (xy/(x²+y²)) für x² + y² und h(0,0) ist stetig, wenn g
> stetig mit g(0,0) = 0.
> Hallo,
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> meine Idee für den Beweis ist Folgende:
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> Fall 1: x!=0 oder y!=0
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> Da Kompositionen stetiger Funktion wieder stetig ist,
> genügt es, die Stetigkeit für l(x,y)=(xy/(x²+y²)) zu
> zeigen.
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> Hier ist mein erstes Problem - ich beiße mir gerade an der
> epsilon-delta-Umformung die Zähne aus. Kann mir da jemand
> helfen?
brauchst du doch nicht: solange [mm] $x^2+y^2>0$ [/mm] ist, folgt die stetigkeit von l tatsächlich aus den sätzen über addition/multiplikation usw. von stetigen funktionen.
> Fall 2: x=0 und y=0
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> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\(0,0)}h(x,y)[/mm] = h(0,0) = 0
> [mm]\Rightarrow[/mm] Stetigkeit in (0,0)
Hier liegt der knackpunkt: l ist in 0 nicht stetig. dafür aber beschränkt.
Riley hatte die gleiche aufgabe vorkurzem (einige tage) hier im forum. wenn du ein wenig suchst, wirst du den artikel finden.
Gruß
Matthias
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