Stetigkeit beweisen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:31 Di 13.01.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | Es seien I [mm] \subseteq \IR [/mm] ein Intervall und f,g : I [mm] \to \IR [/mm] stetige Funktionen. Für alle rationalen Zahlen r [mm] \in [/mm] I [mm] \cap \IQ [/mm] gelte f(r)=g(r).
Zeige: f(x)=g(x) [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] IR |
Hier mein Ansatz, in meiner Vorstellung funktioniert das so ganz gut. Ich habe nur das Gefühl, dass das ganze noch zu schwammig ist. Wäre toll wenn mir jemand da noch 1 oder 2 tipps zu geben könnte oder meine Idee gänzlich übern Haufen wirft. 
Sei i [mm] \in [/mm] I [mm] \subseteq \IR [/mm] \ [mm] \IQ
[/mm]
es reicht zu zeigen f(i)=g(i) (anmerkung das dürften ja die fehlen stellen sein)
Beweis über Widerspruch.
Angenommem: f(i) [mm] \not= [/mm] g(i) aber f(r)=g(r)
=> f(i)+a [mm] \not= [/mm] g(i)+a [mm] ,\forall [/mm] a [mm] \in \IR
[/mm]
=> für fast alle [mm] \varepsilon>0, \exists [/mm] r [mm] \in [/mm] I [mm] \cap \IQ [/mm] : f(i) [mm] \pm \varepsilon [/mm] = f(r) = g(r) [mm] \not= [/mm] g(i) [mm] \pm \varepsilon. [/mm] (2. und 3. "=" gelten ja nach Vorr.)
Wenn aber gilt g(r) [mm] \not= [/mm] g(i) [mm] \pm \varepsilon [/mm] ist das ein wiederspruch zu g ist stetig.
=> f(i)=g(i) => f(x)=g(x)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 13.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich denke , Du hattest die richtige Idee.
Mach es so:
Sei i $ [mm] \in [/mm] $ I \ $ [mm] \IQ [/mm] $. Dann gibt es eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ \cap [/mm] I mit [mm] r_n [/mm] --> i.
Dann:
$f(i) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(r_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(r_n) [/mm] = g(i)$
FRED
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