Stetigkeit einer Funktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In welchen Punkten [mm] (x,y)\in \IR² [/mm] ist die Funktion f : [mm] \IR² \to \IR, [/mm] gegeben durch
[mm] (x,y)\mapsto f(x)=\begin{cases} \bruch{x²}{x-y}, & \mbox{für } x\not=y \\ 0, & \mbox{für } x=y \end{cases}
[/mm]
stetig? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
So, nach langem Hin und Her und mit Lösungsansatz wende ich mich mal wieder ans Forum! :)
Mit Hilfe von [mm] \limes_{x\rightarrow y} [/mm] bzw. [mm] \limes_{y\rightarrow x} [/mm] sowie der Tatsache, dass es sich um eine gebrochenrationale Funktion handelt, konnten wir zeigen, dass die Funktion für alle (x,y) mit [mm] x\not=y [/mm] stetig ist.
Offensichtlich ist dies für x=y nicht der Fall. Allerdings bleibt das Problem: wie schaut das ganze im Punkt (0,0) aus? Je nachdem wie wir argumentieren, erhalten wir einmal Stetigkeit und einem Nichtstetigkeit als Ergebnis.
Wäre nett, wenn sich jemand dieses Problems annehmen würde!
Danke im Voraus! 
Jan
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Hallo,
also f(x,y) ist sicher an allen Stellen [mm] \not=(0,0) [/mm] stetig. Für den Nachweis der Stetigkeit an (0,0) muss man untersuchen, ob
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow (0,0)} [/mm] f(x,y)=f(0,0)=0.
s. mathemaduenns Antwort!
An allen Stellen [mm] \not=(0,0) [/mm] folgt die Stetigkeit aus der Tatsache, dass f eine Kombination stetiger Funktionen ist!
Anbei schicke ich dir mal noch eine pdf, wo man noch eine Möglichkeit geliefert bekommt, Stetigkeit zu zeigen. Nämlich durch geeignetes Abschätzen!
Viele Grüße
Daniel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Ist f(x) wirklich an allen Stellen [mm] \not=(0,0) [/mm] stetig? Denn für sämtliche Punkte (x,x) wird der Funktionswert ja 0.
f(x,0) und f(0,y) haben wir auch schon untersucht, mit dem Ergebnis, dass Die Funktion in diesen beiden Fällen im Punkt (0,0) stetig ist. Die Grenzwerte in der Umgebung von f(x,0) mit [mm] x=\pm0 [/mm] ergeben + [mm] \varepsilon [/mm] und - [mm] \varepsilon, [/mm] liegen also in einer geeigneten Umgebung von (0,0).
Für f(0,y) mit [mm] y=\pm0 [/mm] ergibt sich als Grenzwert 0, da [mm] \bruch{0²}{0-y} [/mm] = 0
f(0,y) ergibt ja für alle y [mm] \varepsilon \IR [/mm] den Wert 0, während f(x,0) die Gerade f(x,0) = x ergibt.
Aber wie hilft mir das weiter? Ich schlussfolgere hieraus nämlich, dass die Funktion in (0,0) stetig ist...
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Hallo topspin85,
Du hattest schon recht für x=y ist die Funktion unstetig.
Um die Unstetigkeit in (0,0) zu zeigen würde ich die Folgenstetigkeit nutzen.
Dazu brauchst Du eine Folge die sich schnell an die "Unstetigkeitsstellen" x=y annähert.
[mm] (\bruch{1}{n},\bruch{1}{n+1}) [/mm] konvergiert gegen (0, 0) während die Folge der Funktionswerte gegen 1 konvergiert.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo,
also das ist ja kein Grund meine Antwort auf falsch zu setzen. Ich habe mich nur nicht so deutlich ausgedrückt und lasse mich davon sogar aus der Ruhe bringen. Ich dachte schon, dass f doch dort stetig ist!
Und im Übrigen, ich habe gerade nachgelesen. Unser Prof hat das damals bei exakt derselben Funktion mit derselben Erklärung begründet.
VG Daniel
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Hallo Daniel,
Deine Antwort hatte ich auf "fehlerhaft" gesetzt da die Funktion ja gerade nicht überall außer in (0,0) stetig ist. genau an den Stellen eben an denen der Nenner 0 ist.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo,
stimmt du hast Recht. Das geht ja für alle anderen Zahlen auch! Entschuldige!
Bei der Funktion von damals steht im Nenner x+y!
Viele Grüße
Daniel
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Hallo Daniel,
kein Grund sich zu entschuldigen.
VG Christian
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Hallo mathemaduenn!
könntest du bitte mal deine Lösung mit deinem Folgenstetigkeitsansatz ausführlich anschreiben, da ich noch keine Ahnung habe wie man dies Stetigkeitskriterium anwendet und das wäre ein schönes Beispiel!
Vielen Dank!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:23 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo F.Michael!
Damit die untersuchte Funktion $f(x;y)_$ auch in allen Punkten [mm] $(x_0;y_0)_$ [/mm] stetig ist, muss der entsprechende Grenzwert für $(x;y) \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] (x_0;y_0)$ [/mm] existieren und dem Funktionswert [mm] $f(x_0;y_0)_$ [/mm] entsprechen.
Dieses Grenzwertkriterium muss nun auch für alle Folgen [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $y_n$ [/mm] (bzw. Folgenpaare [mm] $\left(x_n; y_n\right)$ [/mm] ) mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ [mm] x_0$ [/mm] bzw. [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}y_n [/mm] \ = \ [mm] y_0$ [/mm] erfüllt sein.
Findet man also nur ein Gegenbeispiel ist die Nichtstetigkeit nachgewiesen.
Zu unserer Aufgabe hier hat matehmaduenn bereits ein entsprechendes Gebenbeispiel geliefert mit [mm] $x_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{n}$ [/mm] und [mm] $y_n [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{n+1}$ [/mm] .
Beide Folgen konvergieren gegen die betrachteten Koordinatenwerte [mm] $(x_0;y_0) [/mm] \ =\ (0;0)$ , sind also "legitim"  :
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] \ = \ 0 \ = \ [mm] x_0$
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}y_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+1} [/mm] \ = \ 0 \ = \ [mm] y_0$
[/mm]
Setzen wir in die Funktionsvorschrift ein:
[mm] $\limes_{(x;y)\rightarrow (0;0)}f(x;y) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{(x;y)\rightarrow (0;0)}\bruch{x^2}{x-y} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{x_n^2}{x_n-y_n} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\left(\bruch{1}{n}\right)^2}{\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}} [/mm] \ = \ ...$
Forme diesen Ausdruck nun um bzw. fasse zusammen und führe anschließend die Grenzwertbetrachtung für [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] durch.
Welchen Grenzwert erhältst Du? Entspricht dies dem vorgegebenen Funktionswert?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mi 11.01.2006 | | Autor: | F.Michael |
Hi Loddar!
Danke, das war mal eine echt gut Erklärung. Also ist dieses Kriterium hauptsächlich in der Praxis dazu da um zu zeigen dass eine Fkt. nicht stetig ist.
Wenn ich es richtig umgeformt habe, steht am schluss da:
... [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+a)}{n} [/mm] = 1
Dies Konvergiert demnach gegen 1 und nicht gegen 0, also nicht stetig!
Danke, ich glaub ich bin dem Verständnis ein ganzes Stück näher gekommen.
MFG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:00 Mi 11.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo F.Michael!
> ... [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+a)}{n}[/mm] = 1
Wenn Du hieraus [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n+\red{1}}{n}=1\not= 0[/mm] machst, ist es okay.
Gruß
Loddar
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Hallo Daniel,
Dein Bsp. aus der pdf Datei ist hier nicht übertragbar. Da dort im Nenner sowas ähliches wie y+x steht.
viele Grüße
mathemaduenn
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Hallo Christian,
es ging mir auch nur darum zu zeigen, dass man diese Stetigkeitsaussagen auch anders beweisen kann. Ist schon klar, dass das so nicht funktioniert, aber danke trotzdem!
Viele Grüße
Daniel
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