Stetigkeit einer Funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mo 14.05.2012 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die durch $ [mm] f(x)=f(n)=\begin{cases} \frac{1}{q}, & x \in \IQ \backslash \{ 0 \} \\
1, & x=0 \\
0, & x \in \IR \backslash \IQ \end{cases}$
[/mm]
definierte Funktion $f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $ in allen Punkten $x [mm] \in \IR \backslash \IQ$ [/mm] stetig und in allen Punkten $x [mm] \in \IQ$ [/mm] unstetig ist. |
Brauche grade ne Idee wie ich zeige, das Stetigkeit in den $x [mm] \in \IR \backslash \IQ$ [/mm] gilt. Bisher habe ich: Stetigkeit in $x : [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 [mm] \text{ mit }: |f(a)-f(x)|=|f(a)|<\eposilon, \forall |a-x|<\delta$. [/mm] Kann das a in diesem Fall auch ausserhalb von [mm] $\IR \backslash \IQ [/mm] $ sein? Und wie beweise ich dem Fall das es stetig ist. Vorallen kann für diesen Beweis angenommen werden, dass auch $x [mm] \in \IR \backslash \IQ$ [/mm] ist ?
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moin,
Zuerst solltest du die vollständige Funktion angeben.
Ich nehme mal an für $x [mm] \in \IQ$ [/mm] soll das so aussehen:
Für $x [mm] \in \IQ$ [/mm] mit $x = [mm] \frac{p}{q}$, [/mm] $p [mm] \in \IZ, [/mm] q [mm] \in \IN$, [/mm] ggT$(p,q) = 1$ ist $f(x) = [mm] \frac{1}{q}$.
[/mm]
Also das $x$ wird vollständig gekürzt und das $p$ wird zu einer 1.
Stimmt das soweit?
Für die Unstetigkeit in [mm] $\IQ \backslash \{0\}$ [/mm] wähle dir mal für [mm] $x_0 [/mm] = [mm] \frac{p}{q}$ [/mm] gekürzt wie oben [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{2p} [/mm] > 0$ und überlege dir, wieso du dazu kein [mm] $\delta$ [/mm] finden kannst (eine Skizze könnte ggf. helfen).
Für die Stetigkeit in [mm] $\IR \backslash \IQ$ [/mm] (da steht in der Aufgabe übrigens, dass die dort auch unstetig sein soll, sie ist aber stetig - editiere das bitte nochmal kurz) würde ich das Folgenkriterium empfehlen.
Haben wir eine Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] mit [mm] $\limes_{n \to \infty} a_n [/mm] = [mm] x_0 \in \IR \backslash \IQ$, [/mm] wieso ist dann [mm] $\limes_{n \to \infty} f(a_n) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] = 0$ ?
Sollte es sonst noch Fragen geben oder die Aufgabe doch anders gemeint sein als ich das reininterpretiert habe sag Bescheid.
lg
Schadow
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