Stetigkeit/glm. Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | z.B Zeigen Sie, dass die Fkt. [mm] f:[1,\infty)\mapsto\IR [/mm] mit [mm]f(x)=\bruch{1}{x^{2}}[/mm] gleichmäßig stetig ist. |
Hallo,
ich schreibe jetzt am Montag eine Analysis I Klausur. Soweit komme ich mit dem Stoff klar. Ich scheitere nur leider immer wieder an dem [mm]\epsilon - \delta [/mm]-Kriterium. Habt ihr vielleicht gute Tips zur Vorgehensweise, wie ich auf den Ausdruck für das [mm]\delta[/mm] komme?
Vielen Dank schon einmal!
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Hallo,
> z.B Zeigen Sie, dass die Fkt. [mm]f:[1,\infty)\mapsto\IR[/mm] mit
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x^{2}}[/mm] gleichmäßig stetig ist.
> Hallo,
>
> ich schreibe jetzt am Montag eine Analysis I Klausur.
> Soweit komme ich mit dem Stoff klar. Ich scheitere nur
> leider immer wieder an dem [mm]\epsilon - \delta [/mm]-Kriterium.
> Habt ihr vielleicht gute Tips zur Vorgehensweise, wie ich
> auf den Ausdruck für das [mm]\delta[/mm] komme?
>
> Vielen Dank schon einmal!
wenn moeglich, wuerde ich das eps-delta-kriterium vermeiden.
Hattet ihr auch schon lipschitz-stetigkeit?
ich wuerde jedenfalls so argumentieren: die funktion ist auf $[1,N]$, mit N gross, glm. stetig, da stetig auf kompaktum (den satz solltet ihr kennen). Auf [mm] $(N,\infty)$ [/mm] kannst du $|f'|$ nach oben abschaetzen (so dass die fkt. lipschitz-stetig ist). daraus folgt sehr schnell die glm. stetigkeit.
gruss
matthias
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vermeiden würde ich es auch gerne, wenn es geht ;) leider haben wir die lipschitz-stetigkeit noch nicht gehabt und dürfen sie daher auch nicht in der Klausur verwenden.
Bis heute habe ich übrigens immer noch Probleme damit das passende [mm]\delta[/mm] zu finden... ich weiß, dass allgemeine Fragen in aller Regel nicht gerne gesehen werden, aber ich wäre trotzdem total dankbar, wenn irgendjemand mir ein Vorgehen empfehlen kann auf der Suche nach dem [mm]\delta[/mm], irgendwelche Anhaltspunkte, die einem helfen, oder Gedanken, die man sich machen sollte, wenn man die Funktion auf Stetigkeit untersucht... halt alles was mir helfen könnte...
ich bin für alles super-dankbar, da ich hier langsam über meinen Unterlagen verzweifele
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 So 17.02.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> vermeiden würde ich es auch gerne, wenn es geht ;) leider
> haben wir die lipschitz-stetigkeit noch nicht gehabt und
> dürfen sie daher auch nicht in der Klausur verwenden.
>
> Bis heute habe ich übrigens immer noch Probleme damit das
> passende [mm]\delta[/mm] zu finden... ich weiß, dass allgemeine
> Fragen in aller Regel nicht gerne gesehen werden, aber ich
> wäre trotzdem total dankbar, wenn irgendjemand mir ein
> Vorgehen empfehlen kann auf der Suche nach dem [mm]\delta[/mm],
> irgendwelche Anhaltspunkte, die einem helfen, oder
> Gedanken, die man sich machen sollte, wenn man die Funktion
> auf Stetigkeit untersucht... halt alles was mir helfen
> könnte...
Die Lipschitz-Stetigkeit ist zwar nützlich, aber man braucht sie nicht, um die gleichmäßige Stetigkeit nachzuweisen.
Also, du musst zu einem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $\delta$ [/mm] finden, sodass
$ [mm] \left|\bruch{1}{x^2} -\bruch{1}{x_0^2}\right| <\varepsilon [/mm] $,
falls [mm] $|x-x_0|<\delta$, [/mm] wobei das [mm] $\delta$ [/mm] nicht von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt (glm. Stetigkeit).
In diesem Fall ist es nützlich, einmal anzunehmen, dass [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] ist, und eine Aussage über [mm] $|f(x)-f(x_0)|$ [/mm] herzuleiten. Danach kannst du die Argumentationskette umdrehen.
Versuche, in [mm] $|f(x)-f(x_0)|$ [/mm] Alles auf einen Hauptnenner zu bringen und [mm] $|x-x_0|$ [/mm] auszuklammern.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:54 Fr 22.02.2008 | | Autor: | success |
Hi, hab mich auch mal an der Aufgabe versucht, da ich mich selber gerade mit Stetigkeit rumschlagen muss. ;)
Ist das so okay? Fühl mich bei dem Thema noch sehr unsicher.
Wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{\varepsilon}{2}. [/mm] Dann gilt [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] für [mm] |x-x_0|<\delta. [/mm] => [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2} [/mm] ist gleichmässig stetig.
Denn:
[mm] |f(x)-f(x_0)|=|\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{x_0^2}|=|\bruch{x_0^2-x^2}{x^2*x_0^2}|=|\bruch{(x-x_0)(x+x_0)}{x^2*x_0^2}|=|(x-x_0)|*|\bruch{x+x_0}{x^2*x_0^2}|= |(x-x_0)|*|\bruch{1}{x*x_0^2}+\bruch{1}{x^2*x_0}|\leq |(x-x_0)|*2<\varepsilon.
[/mm]
Würde auch folgendes reichen? [mm] f(x)=\bruch{1}{x^2}, f'(x)=-\bruch{2}{x} [/mm] und [mm] 0<|\bruch{2}{x}|\leq [/mm] 2 => f(x) ist Lipschitz-stetig => f(x) ist gleichmaessig stetig.
Oben wurde bereits geschrieben, dass L-Stetigkeit zu zeigen reicht, aber zeige ich sie hier auch korrekt?
Im Übrigen habe ich doch - vorrausgesetzt ich habe alles richtig gemacht - auf beiden Wegen die gleichmaessige Stetigkeit auf dem kompletten Definitionsbereich gezeigt und nicht nur im vorgegebenen Intervall [1,oo) oder?
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> Wähle [mm]\delta[/mm] = [mm]\bruch{\varepsilon}{2}.[/mm] Dann gilt
> [mm]|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm] für [mm]|x-x_0|<\delta.[/mm] =>
> [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2}[/mm] ist gleichmässig stetig.
>
> Denn:
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=|\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{x_0^2}|=|\bruch{x_0^2-x^2}{x^2*x_0^2}|=|\bruch{(x-x_0)(x+x_0)}{x^2*x_0^2}|=|(x-x_0)|*|\bruch{x+x_0}{x^2*x_0^2}|= |(x-x_0)|*|\bruch{1}{x*x_0^2}+\bruch{1}{x^2*x_0}|\leq |(x-x_0)|*2<\varepsilon.[/mm]
Hallo,
dem konnte ich gut folgen.
>
> Würde auch folgendes reichen? [mm]f(x)=\bruch{1}{x^2}, f'(x)=-\bruch{2}{x}[/mm]
> und [mm]0<|\bruch{2}{x}|\leq[/mm] 2 => f(x) ist Lipschitz-stetig =>
> f(x) ist gleichmaessig stetig.
> Oben wurde bereits geschrieben, dass L-Stetigkeit zu zeigen
> reicht, aber zeige ich sie hier auch korrekt?
Naja, f'(x)= [mm] f'(x)=-\bruch{2}{x} [/mm] stimmt ja schonmal gar nicht...
Wenn Du zur Verfügung hast, daß stetig diffbare Funktionen mit beschränkter Ableitung lipschitzstetig sind, kannst Du das (vom Prinzip her) so machen.
> Im Übrigen habe ich doch - vorrausgesetzt ich habe alles
> richtig gemacht - auf beiden Wegen die gleichmaessige
> Stetigkeit auf dem kompletten Definitionsbereich gezeigt
> und nicht nur im vorgegebenen Intervall [1,oo) oder?
Nein, das hast Du nicht.
Beim Zeigen der glm Stetigkeit verwendest Du [mm] \bruch{1}{x*x_0^2}+\bruch{1}{x^2*x_0}\le [/mm] 2, und hier hast Du [mm] x\ge [/mm] 1 verwendet.
Auch die Lipschitzstetigkeit kannst Du nicht auf (0, [mm] \infty) [/mm] zeigen, denn hier ist die Ableitung nicht beschränkt.
Gruß v. Angela
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Hallo zusammen!
Du kannst deine Argumentation nicht einfach übertragen, wie Angela schon richtig gezeigt hat. Man kann sogar zeigen, dass die Funktion auf $(0, [mm] \infty)$ [/mm] nicht gleichmäßig stetig ist. Was müssen wir dazu zeigen?
[mm] $$\exists \epsilon [/mm] > 0\ [mm] \forall \delta [/mm] > 0\ [mm] \exists [/mm] x,y: (|x-y| < [mm] \delta \wedge [/mm] |f(x) - f(y)| > [mm] \epsilon)$$
[/mm]
Setzen wir nun [mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und $x = [mm] \frac{1}{n}$ [/mm] und $y = [mm] \frac{2}{n}$ [/mm] dann gilt für hinreichend großes $n$ $|x - y| = [mm] \frac{1}{n} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und $|f(x)-f(y)| = [mm] \frac{3}{4}n^2 [/mm] > [mm] \epsilon$ [/mm] für beliebiges $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
Also kann $f$ auf dem gesamten Definitionsbereich nicht gleichmäßig sein. Anschaulich ist das einleuchtend, wenn man sich denn Verlauf für kleine $x$ anschaut.
Gruß!
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Du warst fast fertig mit dein Beweis ,nur der letzte Schritt ,ich mach es mal für dich  ,manche dinge muss man halt sehen
Beweis:
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] dann gibt es ein [mm] \delta [/mm] >0 mit [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta
[/mm]
$ [mm] |f(x)-f(x_0)|=|\bruch{1}{x^2}-\bruch{1}{x_0^2}|=|\bruch{x_0^2-x^2}{x^2\cdot{}x_0^2}|=|\bruch{(x-x_0)(x+x_0)}{x^2\cdot{}x_0^2}|=|(x-x_0)|\cdot{}|\bruch{x+x_0}{x^2\cdot{}x_0^2}|= |(x-x_0)|\cdot{}|\bruch{1}{x\cdot{}x_0^2}+\bruch{1}{x^2\cdot{}x_0}|\leq |(x-x_0)|\cdot{}2 <\delta*2 :=\varepsilon [/mm] $
q.e.d
So wähle ich mein Epilsion halt 
Nun weißt du auch wie du dein Delta wählst ,das folgt aus :
[mm] \delta*2< \varepsilon \gdw \delta<\varepsilon*\bruch{1}{2}[/mm]
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> Du warst fast fertig mit dein Beweis ,nur der letzte
> Schritt ,ich mach es mal für dich ,manche dinge muss
> man halt sehen
Hallo,
wenn Du genau hinschaust, siehst Du, daß success mit seinem Beweis längst fertig war.
Es ist natürlich trotzdem nett, daß Du ihm hilfst.
Gruß v. Angela
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