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Stetigkeit in 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:37 Di 31.05.2011
Autor: hilbert

Es geht um folgende Funktion

f(x,y) = [mm] \bruch{y^2*(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2} [/mm] für (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0) und f(x,y) = (0,0) für (x,y) = (0,0)

Ich denke diese Funktion ist unstetig in 0, denn wir hatten so eine ähnliche Funktion bereits.

Wenn ich mich auf der x-Achse der 0 nähere, bekomme ich als Grenzwert auf jeden Fall die 0.

Jetzt brauche ich noch einen anderen Weg mich der 0 zu nähern, auf welchem ich einen anderen Grenzwert bekomme.

Meine Idee war jetzt so etwas wie [mm] \vektor{2t \\ \sqrt{t}} [/mm] für t gegen 0.

dann komme ich auf:

[mm] \bruch{t*(t^2-4t^2)}{(4t^2+t^2)^2} [/mm] = [mm] \bruch{-3}{25t} [/mm] und hier stimmen rechtsseitiger und linksseitiger limes nicht überein.

Heißt das schon, dass diese Funktion unstetig in (0,0) ist?

Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Stetigkeit in 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:49 Di 31.05.2011
Autor: reverend

Hallo hilbert,

noch einfacher...

> f(x,y) = [mm]\bruch{y^2*(y^4-x^2)}{(x^2+y^4)^2}[/mm] für (x,y) [mm]\not=[/mm] (0,0) und
> f(x,y) = (0,0) für (x,y) = (0,0)

Du meinst f(0,0)=0

> Ich denke diese Funktion ist unstetig in 0, denn wir hatten
> so eine ähnliche Funktion bereits.
>  
> Wenn ich mich auf der x-Achse der 0 nähere, bekomme ich
> als Grenzwert auf jeden Fall die 0.

[ok]

> Jetzt brauche ich noch einen anderen Weg mich der 0 zu
> nähern, auf welchem ich einen anderen Grenzwert bekomme.
>  
> Meine Idee war jetzt so etwas wie [mm]\vektor{t \\ 2\sqrt{t}}[/mm]
> für t gegen 0.
>  Leider gehts nicht ganz auf.
>  
> Ich muss doch versuchen einen Quotienten hinzukriegen,
> indem ich kürzen kann, sodass ich auf ein anderes Ergebnis
> als 0 komme, oder?

Versuch doch einfach mal, Dich auf der y-Achse zu nähern. ;-)

Grüße
reverend


Bezug
                
Bezug
Stetigkeit in 0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Di 31.05.2011
Autor: hilbert

Wenn ich mich auf der y Achse nähere komme ich doch auf [mm] \bruch{1}{y^2}. [/mm]
Das ist jeweils [mm] +\infty [/mm] für y gegen 0.

Reicht das schon, dass ich für die x-Achse 0 raus bekomme und für die y-Achse [mm] +\infty [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Stetigkeit in 0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:02 Di 31.05.2011
Autor: kamaleonti

Hallo hilbert,
> Wenn ich mich auf der y Achse nähere komme ich doch auf
> [mm]\bruch{1}{y^2}.[/mm]
>  Das ist jeweils [mm]+\infty[/mm] für y gegen 0.
>  
> Reicht das schon, dass ich für die x-Achse 0 raus bekomme
> und für die y-Achse [mm]+\infty[/mm] ?

Was meinst du mit bei der x- Achse Null rausbekommen?

Klar gestellt:
Es gilt etwa für die Folge [mm] a_n=(0, [/mm] 1/n) mit [mm] a_n\to(0,0),n\to\infty, [/mm] dass [mm] f(a_n)=\frac{1}{1/n^2}=n^2\to\infty, n\to\infty. [/mm] Der 'Grenzwert' von [mm] f(a_n) [/mm] stimmt also nicht mit dem Funktionswert f(0,0)=0 überein.
Also ist die Funktion in (0,0) nicht stetig.

Übrigens, wenn du bei dem von dir anfangs angebenen $ [mm] \vektor{t \\ 2\sqrt{t}} [/mm] $ den Parameter t gegen 0 laufen lässt, erhältst du ebenfalls ein (etwas komplizierteres) Gegenbeispiel.

LG

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